2000年全国高中数学联赛试题及点评.docVIP

2000年全国高中数学联合竞赛试题 第一试 选择题（本题满分36分，每小题6分） 点评：友好的选择题。等你们考试时就没有了 1．设全集是实数，若A={x|≤0}，B={x|10=10x}，A∩?RB是( )(A){2} (B){(1} (C){x|x≤2} (D) ( 参考答案：A={2}，B={2，－1}，故选D． 点评：送分题，不赘述 2．设sin(＞0，cos(0，sin＞cos，的取值范围是( )(A)(2k(+，2k(+)， k(Z (B)( + ，+)，k(Z(C)(2k(+，2k(+()，k( Z (D)(2k(+，2k(+)∪(2k(+，2k(+()，k(Z sin(＞0，cos(0的α的范围是(2k(+，2k(+π)，于是的取值范围是(+，+)sin＞cos的的取值范围为(2k(+，2k(+)(2k(+，2k(+)∪(2k(+，2k(+()，k(ZD． 点评：简单的计算题。 3．已知点A为双曲线x2(y2=1的左顶点，点B和点C在双曲线的右分支上，△ABC是等边三角形，则△ABC的面积是( ) (A) (B) (C)3 (D)6 参考答案：A(－1，0)，AB方程：y=(x+1)，代入双曲线方程，解得B(2，)， ∴ S=3．选C． 点评：另一种思路，设B为(a,b），则AB2=(a+1)2+b2=(a+1)2+1-a2 =4(1-a2)=4b2=BC2 4．给定正数p，q，a，b，cp(q，若p，a，qp，b，c，qbx2(2ax+c=0( ) (A)无实根 (B)有两个相等实根 (C)有两个同号相异实根 (D)有两个异号实根 参考答案：a2=pq，b+c=p+q．b=，c=； △=a2－bc=pq－(2p+q)(p+2q)=－(p－q)20．选A． 点评：△=a2－bc=pq-bc，我们知道p+q=b+c，由函数x（m-x）的性质，显然△0 5．平面上整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线y=x+的距离中的最小值是( )(A) (B) (C) (D) 参考答案：直线即25x－15y+12=0．平面上点(x，y)到直线的距离==． ∵5x－3y+2为整数，故|5(5x－3y+2)+2|≥2．且当x=y=－1时即可取到2．选B． 点评：我们知道(a,b)到该直线的距离就是，因为a,b都是任意整数所以25a+12模15的最小值为2，代入计算得所以答案是B 6．设ω=cos+isin，则以(，3，7，9为根的方程是( )(A)x4+x3+x2+x+1=0 (B) x4(x3+x2(x+1=0(C) x4(x3(x2+x+1=0 (D) x4+x3+x2(x(1=0 参考答案：ω5+1=0，故(，3，7，9 都是方程x5+1=0的根．x5+1=(x+1)(x4－x3+x2－x+1)=0．选B． 点评：ω为模为1复数，无论多少次幂也只是方向的变化。 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．arcsin(sin2000()=__________. 参考答案：2000°=180°×12－160°．故填－20°或－． 2．设an是(3()n的展开式中x项的系数(n=2，3，4，)，则(++…+))=________. 参考答案：an=3n－2C．∴ ==，故填18． 3．等比数列a+log23，a+log43，a+log83____________. 参考答案：q=====．填． 点评:我们求得是公比，而不是a的值。记住上面的简便方法 4．在椭圆+=1 (a＞b＞0)中，记左焦点为F，右顶点为A，短轴上方的端点为B.若该椭圆的离心率是，则∠ABF=_________. 参考答案：c=a，∴|AF|=a．|BF|=a，|AB|2=|AO|2+|OB|2=a2． 故有|AF|2=|AB|2+|BF|2．即∠ABF=90°．填90°． 或由b2=a2－c2=a2=ac，得解． 点评：牢记各种常用曲线的公式，一试必考，且计算量较大。 5．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积是________. 参考答案：取球心O与任一棱的距离即为所求．如图，AE=BE=a， AG=a，AO=a，BG=a，AB∶AO=BG∶OH．