2014年中考试题分类汇编相似三角形20151128.docVIP

52、（2013?泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点． （1）求证：△ADP∽△ABQ； （2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值； （3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围． 解答 （1）证明：∵∠QAP=∠BAD=90°，∴∠QAB=∠PAD，又∵∠ABQ=∠ADP=90°，∴△ADP∽△ABQ． （2）解：∵△ADP∽△ABQ，∴，即，解得QB=2x．∵DP=x，CD=AB=20，∴PC=CD﹣DP=20﹣x． 如解答图所示，过点M作MN⊥QC于点N， ∵MN⊥QC，CD⊥QC，点M为PQ中点，∴点N为QC中点，MN为中位线， ∴MN=PC=（20﹣x）=10﹣x， BN=QC﹣BC=（BC+QB）﹣BC=（10+2x）﹣10=x﹣5． 在Rt△BMN中，由勾股定理得：BM2=MN2+BN2=（10﹣x）2+（x﹣5）2=x2﹣20x+125， ∴y=x2﹣20x+125（0≤x≤20）．∵y=x2﹣20x+125=（x﹣4）2+45， ∴当x=4即DP=4时，y取得最小值为45，BM的最小值为=． （3）解：设PQ与AB交于点E． 如解答图所示，点M落在矩形ABCD外部，须满足的条件是BE＞MN． ∵△ADP∽△ABQ，∴，即，解得QB=a． ∵AB∥CD，∴△QBE∽△QCP，∴，即，解得BE=．∵MN为中位线，∴MN=PC=（a﹣8）． ∵BE＞MN，∴＞（a﹣8），解得a＞12.5． ∴当点M落在矩形ABCD外部时，a的取值范围为：a＞12.5． 54、（2013泰安）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，（1）求证：AC2=AB?AD；（2）求证：CE∥AD；（3）若AD=4，AB=6，求的值． 解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，∵∠ADC=∠ACB=90°， △ADC∽△ACB，∴AD：AC=AC：AB，∴AC2=AB?AD； （2）证明：∵E为AB的中点，∴CE=AB=AE， ∴∠EAC=∠ECA，∵∠DAC=∠CAB，∴∠DAC=∠ECA，∴CE∥AD； （3）解：∵CE∥AD，∴△AFD∽△CFE，∴AD：CE=AF：CF，∵CE=AB，∴CE=×6=3， ∵AD=4，∴，∴． 55、（2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F．设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）． （1）当t=　2.5　s时，四边形EBFB′为正方形； （2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值； （3）是否存在实数t，使得点B′与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 解答 解：（1）若四边形EBFB′为正方形，则BE=BF， 即：10﹣t=3t，解得t=2.5； （2）分两种情况，讨论如下： ①若△EBF∽△FCG，则有，即，解得：t=2.8； ②若△EBF∽△GCF，则有，即， 解得：t=﹣14﹣2（不合题意，舍去）或t=﹣14+2． ∴当t=2.8s或t=（﹣14+2）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似． （3）假设存在实数t，使得点B′与点O重合． 如图，过点O作OM⊥BC于点M，则在Rt△OFM中，OF=BF=3t，FM=BC﹣BF=6﹣3t，OM=5， 由勾股定理得：OM2+FM2=OF2，即：52+（6﹣3t）2=（3t）2解得：t=； 过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE=BE=10﹣t，EN=BE﹣BN=10﹣t﹣5=5﹣t，ON=6，由勾股定理得：ON2+EN2=OE2，即：62+（5﹣t）2=（10﹣t）2解得：t=3.9．∵≠3.9， ∴不存在实数t，使得点B′与点O重合． 56、（2013?包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F．1）如图①，当时，求的值；（2）如图②当DE平分∠CDB时，求证：AF=OA； （3）如图③，当点E是BC的中点时，过点F作FG⊥BC于点G，求证：CG=BG． 解答： （1）解：∵