第3章 复变函数的积分3.2.ppt

第三章 复变函数的积分 第3.2节 柯西公式 柯西公式： 柯西公式： 柯西公式： 柯西公式： 柯西公式： 定理4 .1(柯西公式) 注解： 定理4.1的证明： 定理4.1的证明： 定理4.1的证明： 定理4.2(高阶导数公式)： 高阶导数公式： 高阶导数公式： 高阶导数公式： 高阶导数公式： 系4.1： 定理4.3： 定理4.3的证明： 注解： 刘维尔定理： 莫勒拉定理： 莫勒拉定理： It’s The End！ Thank You！ * * Department of Mathematics 设f(z)在以圆 为边界的闭圆盘上解析，f(z)沿C的积分为零。考虑积分 则有：(1)被积函数在C上连续，积分I必然存在； （2）在上述闭圆盘上 不解析，I的值不一定为0， 因此，I的值只f(z)与在z0点附近的值有关。 例如： 由柯西定理，得 现在考虑f(z)为一般解析函数的情况。作以z0 为心，以r为半径的圆Cr， 令， 由于I的值只f(z)与在z0点附近的值有关， 与r无关，由f(z)在点z0的连续性，应该有 即 事实上，当r趋近于0时，有 则有 由于由f(z)在点z0的连续性，所以 使得当 因此 即当r趋近于0时，上式右边的有第二个积分趋近于0；而 因此，结论成立。 定理4.1 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域 上解析，那么在内任一点z，有 其中，沿曲线C的积分是按反时针方向取的，我们称它为柯西公式。 注解1、对于某些有界闭区域上的解析函数，它在区域内任一点所取的值可以用它在边界上的值表示出来。 注解2、柯西公式是解析函数的最基本的性质之一，对于复变函数理论本身及其应用都是非常重要的。 注解3、柯西公式有非常明确的物理背景和物理意义。 证明：设 ， 在满足 的点 处解析。 以z为心，作一个包含在D内的圆盘，设其半径为r，边界为圆Cr。 在 上，挖去以Cr为边界的圆盘，余下的点集是一个闭区域 。 显然函数 其中，沿曲线C的积分是按关于D的正向取的， 沿Cr的积分是按反时针方向取的。因此，结论成立。 解析，所以有 在 上， 的函数 以及 定理4.2 设D是以有限条简单闭曲线C为边界的有界区域。设f(z)在D及C所组成的闭区域 上解析，那么f(z)在D内有任意阶导数 证明：先证明结论关于n=1时成立。设 是D内另一点。只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0? 现在估计上式右边的积分。设以z为心，以2d为半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取z+h，使得0|h|d，那么当 时 设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度是L，于是我们有 因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。 现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，结论成立。取z及z+h同上，那么有 由此证明，当h趋近于0时，上式的右边趋于0，于是定理的结论当n=k+1时成立。 系4.1 设函数f(z)在区域D内解析，那么f(z)在D内有任意阶导数。 注解1、以上讨论表明，函数在一个区域内的解析性是很强的条件，和仅仅在一个点可导是有非常大的差异； 注解2、任意阶导数公式是柯西公式的直接推论； 定理4.3 设函数f(z)在以 为边界的闭圆盘上解析，那么 其中 证明：令 是圆 那么，由导数公式，有 其中，n=0,1,2,…;0!=1。 注解1、上面的不等式称为柯西不等式。 注解2、如果在C上解析，那么我们称它为一个整函数，例如 等。关于整函数，我们有下面重要的刘维尔定理 定理4.4： 有界整函数一定恒等常数 证明：f(z)是有界整函数，即存在 使得 f(z)在上 解析。由柯西公式，有 令 ，可见 从而f(z)在C上恒等于常数。? 5、莫勒拉定理：应用解析函数有任意阶导数，可以证明柯西定理的逆定理， 定理5.1 如果函数f(z)在区域D内连续，并且对于D内的任一条简单闭曲线C，我们有 那么f(z)在区域D内解析。 证明： 作以为z0心的圆盘 在凸区域K内，函数f(z)连续，并且对于K内任何一个三角形的周界C，则可以证明f(z)在K内有原函数F(z)，即 于是F(z)在K内解析。由系4.1，f(z)在K内，在z0 解析，从而有任意阶导数。又因为z0的任意性，结论成立。 Complex Function Theory Department of Mathematics 章