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2016高中数学人教B版必修42.1.5“向量共线的条件与轴上向量坐标的运算”同步课件
* 中小学课件 课堂讲练互动 课前预习目标 课堂互动探究 课前预习目标 梳理知识 夯实基础 课堂互动探究 剖析归纳 触类旁通 第二章平面向量 2.1 向量的线性运算 2.1.5 向量共线的条件与轴上向量坐标运算 学 习 目 标掌握数乘向量的运算,并理解其几何意义. 自 学 导 航1.向量共线的条件 (1)平行向量基本定理: 如果a=λb,那么ab;反之,如果ab(b≠0),那么一定,使a=λb. 存在唯一一个实数λ(2)向量a的单位向量: 给定一个非零向量a,与a且长度的向量,叫做向量a的单位向量.如果a的单位向量记作a0(如图),由数乘向量的定义可知:a=|a|a0或a0=. 同方向等于12.轴上向量的坐标及其运算 (1)轴上向量的坐标: 规定了的直线叫做轴(如图). 方向和长度单位②已知轴l,取单位向量e,使e的方向与l的方向,对轴上任意向量a,一定存在唯一实数x,使a=xe,x叫做a在l上的坐标(或数量).向量e叫做轴l的基向量. 给定单位向量e,能生成与它平行的所有向量的集合{xe|xR}. x的绝对值等于a的长,当a与e时,x是正数,当a与e时,x是负数. 同方向反方向相同 (2)轴上向量的坐标运算: 轴上的两个向量相等的法则:轴上两个向量相等的条件是它们的,即设a=x1e,b=x2e,则a=b. ②轴上两个向量和的法则:轴上两个向量和的坐标等于两个向量的,即设a=x1e,b=x2e,则a+b=(x1+x2)e.如果设e是轴l上的一个基向量,的坐标又常用表示,此时=e,显然=BAe,AB与BA绝对值,符号,即AB+BA=0.一般地,有AB+BC=AC. 坐标相等x1=x2坐标的和AB AB 相同相反 ③轴上向量的坐标和数轴上两点间的距离公式:轴上向量的坐标等于向量如图所示,在数轴x上,已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2,于是得AB=AO+OB=-OA+OB=x2-x1.所以数轴上两点A、B的距离公式为|AB|=|x2-x1|.在应用数轴上向量的坐标公式时,要特别注意是终点坐标减去始点坐标. 终点的坐标减去始点的坐标思 考 探 究1.平行向量基本定理中的条件“b≠0”能否去掉?为什么? 提示 不能去掉.若b=0,则0a,但λ0=0,从而a=λb中的实数λ具有不确定性,进而不能说存在唯一一个实数λ使得a=λb. 2.一般直线与轴的区别是什么? 提示 规定了方向与长度单位的直线是轴. 自 测 自 评1.数轴上两点A、B的坐标分别为4,-2,则的坐标为( ) A.-2 B.2 C.-6 D.6 解析 AB=-2-4=-6. 答案 C 2.在四边形ABCD中,=,且||=||,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形 解析 =,说明DC与AB平行且不相等.又||=||,所以AD=BC,故应构成等腰梯形,C正确. 答案 C 3.已知向量a,b,且=a+2b,=-5a+6b,=7a-2b,则一定共线的三点是( ) A.A、B、D B.A、B、C C.B、C、D D.A、C、D 解析 =+=(-5a+6b)+(7a-2b) =2a+4b=2(a+2b)=2. A、B、D三点共线. 答案 A 4.向量a=m-2n,b=3m+n,其中非零向量m与n共线,则a-b与c=3m-n的关系是( ) A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定 解析 非零向量m与n共线, 存在实数λ,使得m=λn. a-b=-2m-3n=(-2λ-3)n, c=3m-n=(3λ-1)n, a-b与n共线,c与n共线. n是非零向量,a-b与c共线. 答案 B 名 师 点 拨1.平行向量基本定理的理解 平行向量基本定理为运用向量判定直线平行或三点共线等几何问题提供了理论依据.理解时应注意以下几点: (1)定理本身包含了正反两个方面:若存在一个实数λ,使a=λb(b≠0),则a与b共线;反之,若a与b共线(a≠0),则必存在唯一的实数λ,使a=λb. (2)若b=λa,则a与b共线,即可以通过该定理来分析向量a及向量b所在直线的情况,为证明线线平行(共线)等问题提供了有力的依据. 2.实数与轴上向量的关系 (1)轴上向量坐标符号的确定:当a与e同方向时,x为正数;当a与e反方向时,x为负数. (2)实数与轴上的向量建立了一一对应的关系,因此可以用数值表示向量,奠定了向量数量化的基础. (3)轴不同于数轴,当在轴上选定一点O作为原点时,轴就成了数轴. 例1 已知数轴上四点A,B,C,D的坐标分别为-1,2,x,y. (1)若AC=5,求x的值; (2)若||=3,求y的值; (3)若=-3,求证:3=-4. 剖析 首先根据数轴上点的坐标,表示出两点对应的
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