条件数学期望与其应用.docVIP

条件数学期望及其应用 The ways of finding the inverse matrix and it’s application Abstract：The passage lists the ways of calculating the first type of curvilinear integral,and discusses it’s application in geometry and in physical. Keywords：Curvilinear integral;Continuous;Integrable; Lateral area. 0前言 在曲线积分中，被积函数可以是标量函数或向量函数.积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重（一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积）是一个离散型随机变量，取值为，分布列为.又事件有，这时 为在事件发生条件下的条件分布列.如果有 则称 ． 为随机变量在条件下的条件数学期望（简称条件期望）． 定义2 设是一个连续型随机变量，事件有，且在条件之下的条件分布密度函数为．若称为随机变量在条件下的条件数学期望． 定义3 设是离散型二维随机变量，其取值全体为 ， 联合分布列为 ， 在的条件下的条件分布列为若 ， 则 为随机变量在条件下的条件数学期望． 定义4 设是连续型二维随机变量，随机变量在的条件下的条件密度函数为，若 ， 则称 为随机变量在条件下的条件数学期望． 1.2条件数学期望的性质 定理1 条件期望具有下面的性质： （1） ， 其中，且假定存在； （2） ； （3） 如果为可测，则； （4） 如果与代数独立，则; （5） 如果是代数的子代数，则； （6） 如果是上的下凸函数，则 ； 定理2 条件期望的极限定理： （1）单调收敛定理：若，则在上，则 ． （2）引理：若，则在上，则 ． （3） 控制收敛定理：若可积，且，则 ． 1.3条件数学期望的求法 在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧．本文对两种不同情形下的条件期望的求法做出讨论． 方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解． 例1设时独立同分布随机变量．，记，求． 解 易证．则 即 方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的域可测或独立的随机变量之和，利用条件期望的性质求和． 例 2 设有正态样本 ，统计量，求． 解 令，则．作正交变换：，其中为正交阵，第一行为，则有，即独立， ，从而，关于可测，所以 由以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，我们必须从问题本身出发化简，将其转化为可测或独立于代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解． 1.4全期望公式 设事件是一完备事件组，即互不相交，，且，由全概率公式有 这时若,则有 如同全概率公式一样，上式可称为全期望公式． 若是一个完备事件组，则也有全期望公式 （注意，的密度有公式． 2条件数学期望的应用 2.1条件数学期望在实际问题中的应用 条件数学期望在概率论与数理统计中有重要的作用，在实际问题中也有大量应用．例如人们常说体育要从娃娃抓起．某少体校要在小学中选拔一批小学生进行重点培养，为我国篮球，排球运动准备后备力量．对一个运动员来说，他（她）的身高显然是一个非常重要的因素．于是问题产生了，在一大群各项素质（包括目前的身高）都差不多的七八岁的小朋友中，用什么办法来选拔一批将来（十年以后）身材会比较高的幼苗进行重点培养呢？科学工作者发现了小孩的足长与他（她）长大后的身高之间有密切的关系．我国的体育科研人员对16个省市的几万名青少年儿童进行了观测，建立了下述预测公式： 成年身高=（少儿当年足长） （单位：cm） 其中系数对不同性别，不同年龄组的儿童有不同的数值，其具体数值如下表： 性别 年龄 男 女 7 9.218 8.735 8 8.930 8.418 9 8.572 8.075 10 8.242