圆周运动脱轨及临界问题(教案).docVIP

竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动是典型的变速运动，高中阶段只分析通过最高点和最低点的情况，经常考查临界状态，其问题可分为以下两种模型.一、两种模型模型1：“轻绳类” 绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力(圆圈轨道问题可归结为轻绳类)，即只能沿某一个方向给物体力的作用，如图1、图2所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：(1)临界条件：在最高点，绳子(或圆圈轨道)对小球没有力的作用， (2)小球能通过最高点的条件：，当时绳对球产生拉力，圆圈轨道对球产生向下的压力.(3)小球不能过最高点的条件：，实际上球还没到最高点就脱离了圆圈轨道，而做斜抛运动.模型2：“轻杆类” 有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况，如图3所示，(小球在圆环轨道内做圆周运动的情况类似“轻杆类”， 如图4所示，)：(1)临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度(2)小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：①当时，轻杆对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即；②当时，因,则.轻杆对小球的支持力竖直向上，其大小随速度的增大而减小，其取值范围是． ③当时，；④当时，则，即，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大，注意 杆与绳不同，在最高点，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力，还可对球的作用力为零.小结 如果小球带电，且空间存在电磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力的合力作为向心力，此时临界速度≠(应根据具体情况具体分析)．另外，若在月球上做圆周运动则可将上述的换成，若在其他天体上则把换成.二、两种模型的应用例1如图5所示，质量为的小球从光滑的点由静止下滑，若的竖直而做圆周点的高度至少应? 【解析此题是隐含条件，即小球在最高点的临，根据机械能守恒定律得代入上式得：．如图6所示，在竖直向下的匀强、质量为且重力大于所受电点由静止下滑，若小球恰能通的竖直圆形轨道的而做圆周运动，问点至少应为多少?解析此题属于“轻杆类”，受到三个力作用，方向竖直向上；重力；弹力，方向 要使小球恰能通过圆形轨道的最高点而做圆周运为临界速．由此可列出小球的状态方 ①根据动能定理，有 ②解之得： 说明 把②式中的换成，较容易求出 【例3】如图6所示，在竖直向下的匀强、质量为且重力大于所受电点由静止下滑，若小球恰能通的竖直圆形轨道的而做圆周运动，问点至少应为多少?解析此题属于“轻类”，而做圆周运动为临界速．由此可列出小球的状态方 ①根据动能定理，有 ②由上述二式解得： 小结 上述两题条件虽然不同，但结果相同，为什么?因为电场力与重力做功具有相同的特点，重力做功仅与初、末位置的高度差有关；在匀强电场中，电场力做功也仅与沿电场力方向的距离差有关．我们不妨可以这样认为，例2中的“等效重力加速度”比例1中的重力加速度减小，例3中的“等效重力加速度”比例1中的重力加速度增大．例2中，；例3中，．把代入各自对应的式子，结果、分别都约去了，故．【例4】如图7所示，一个带正电、质量为的电荷，从光滑的斜面轨道的点由静止下滑，若小球恰能通的竖直圆形轨道的(圆弧左半部分加上垂)，问点的高度至少应为多少?解析此题属于“轻绳类”，题中“恰能是隐含条，说明小为临界速率，临界条，由此可列出小球的临界状态方程为 ① ， ② 因只能取正值，即则【例5】如图所示，在竖直向下的均匀电、质量为的点的竖直圆形轨道的最高(圆弧左半部分加上垂直纸)，问点的至少应为多少? 【解析此题属于“轻绳类”，题中“恰能”是隐含条，说明小为临界速率，临界条，由此可列出小球的临界状态方程为 ① ②由①式可得: 因只能取正值，即则小结 小球受到的洛伦兹力与轨道的弹力有相同的特点，即都与速度的方向垂直，它们对小球都不做功，而临界条件是．为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中段是水平的，段为半径的半圆，两段轨道相切于点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小.一不带电的绝缘小球甲，以速度沿水平轨道向右运动，与静止在点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为，乙所带电荷量，取.(水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移) （1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点，求乙在轨道上的首次落点到点的距离； （2）在满足(1)的条件下。求的甲的速度； （3）若甲仍以速度向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到点的距离范围. 【解析】（1）在乙恰能通过轨道最高点的情况下，设乙到达最高点速度为，乙离开点到达水平轨道的时间为，乙的落点到点的距离为，则