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射影定理 一、 射影定理 直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜边BC上的高,则有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC, (2)(AB)^2;=BD·BC , (3)(AC)^2;=CD·BC 。 等积式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面积来证明) 目录 直角三角形射影定理的证明 任意三角形射影定理 　射影 　　所谓射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。初中射影定理的内容: 射影定理的内容是在直角三角形中，每条直角边是这条直角边在斜边的射影和斜边的比例中项，斜边上的高线是两条直角边在斜边射影的比例中项 公式 如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下：（1）（AD）sup2;=BD·DC， （2）（AB）sup2;=BD·BC ， （3）（AC）sup2;=CD·BC 。 等积式 （４）ABXAC=BCXAD(可用“面积法”来证明） 直角三角形射影定理的证明 　　证明： 　　 ?? 射影定理简图(几何画板) 一、 　　在 △BAD与△BCD中，∠A+∠C=90°，∠DBC+∠C=90°，∴∠A=∠DBC， 　　又∵∠BDA=∠BDC=90°， 　　∴△BAD∽△CBD， 　　∴ AD/BD＝BD/CD，即BD^2;=AD·DC。其余类似可证。(也可以用勾股定理证明) 　　注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。 　　有射影定理如下： 　　AB^2;=AD`AC，BC^2;=CD·CA 。 　　两式相加得： 　　AB^2;+BC^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=AC^2;, 　　即AB^2;+BC^2;=AC^2;（勾股定理结论）。 　　二、 　　已知:三角形中角A=90度,AD是高. 　　用勾股证射影 　　:因为AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2, 　　所以2AD^2=AB^2+AC^2-BD^2-CD^2=BC^2-BD^2-CD^2=(BD+CD)^2-(BD^2+CD^2)=2BD*CD. 　　故AD^2=BD*CD. 　　运用此结论可得:AB^2=BD^2+AD^2=BD^2+BD*CD=BD*(BD+CD)=BD*BC,AC^2=CD^2+AD^2=CD^2+BD*CD=CD(BD+CD)=CD*CB. 　　综上所述得到射影定理。同样也可以利用三角形面积知识进行证明。 任意三角形射影定理 　　任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”： 　　△ABC的三边是a、b、c，它们所对的角分别是A、B、C，则有 　　a＝b·cosC＋c·cosB， 　　b＝c·cosA＋a·cosC， 　　c＝a·cosB＋b·cosA。 　　注：以“a＝b·cosC＋c·cosB”为例，b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB，故名射影定理。 　　证明1：设点A在直线BC上的射影为点D，则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD，且 　　BD=c·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC＋c·cosB. 同理可证其余。 　　 ?? ?? 证明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB＋b·cosA. 同理可证其它的。 直角三角形射影定理（又叫欧几里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。 公式 如图，RtABC中，BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则有射影定理如下： 1.（AD）^2=BD·DC， 2.（AB）^2=BD·BC， 3.（AC）^2=CD·BC 。 这主要是由相似三角形来推出的，例如，“（AD）^2=BD·DC：”的证明如下： 在 BAD与ACD中，B=∠DAC，BDA=∠ADC=90°，BAD∽△ACD相似， 所以 AD/BD＝CD/AD， 所以（AD）^2=BD·DC。 注：由上述射影定理还可以证明勾股定理。由公式（2）+（3）得 （AB）^2+（AC）^2=（BC）^