人教版8年级数学13.4教案.docVIP

人教版八年级（上）数学教案 §13.4 课提学习 最短路径问题 紫云自治县第二中学 吴厚广 【教学目标】 知识与技能目标： 利用轴对称解决两点之间最短路径问题 过程与方法目标： 通过问题解决培养学生转化问题能力 情感、态度与价值观目标： 数学来源实际服务生活，培养数学学习兴趣 法制教育目标： 让学生明白《中华人民共和国食品安全法》相关法律制定的必要性。 【教学重点】 利用轴对称解决两点之间最短路径问题 【教学难点】 如何把问题转化为“两点之间，线段最短” 【教学方法】 创设情境----探索新知----合作交流----应用提高 【课前准备】多媒体投影 【教学过程设计】 一、创设情境，引入新课 前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”． 二、探索新知，合作交流 问题1　相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题： 从图1中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？ 精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 图1 1、你能将这个问题抽象为数学问题吗？ 这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 师生活动：学生回答------将A，B两地抽象为两点，将河l抽象为一条直线（如图2） （2）你能用自己的语言说明这个问题的意思，并 把它抽象为数学问题吗？ 图2 师生活动：学生尝试回答，并相互补充，最后达共识： （1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A， B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和； （3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C 在l 的什么位置时， AC 与CB 的和最小（如图3）． 问题2 如图3，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？ 师生活动：学生独立思考，画图分析，并尝试回答，相互补充。 如果学生有困难，教师可作如下提示： 图3 （1）如图4，点A、B分别是直线l异侧的两 个点，如何在l上找到一个点，使得这个点到点 A、点B的距离的和最短？ （2）对于问题2，如何将点B“移”到l 的另一 侧B′处，满足直线l 上的任意一点C，都保持 CB 与CB′的长度相等？ 图4 （3)你能利用轴对称的有关知识，找到（2）中符合条件的点B′吗？ 对于（1），学生利用已学过的知识，很容易解决这个问题。即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点间，线段最短”，可知这个交点即为所求; 对于（2）、（3），学生独立思考后，尝试画图，寻找符合条件的点，然后小组交流，学生代表汇报交流结果，师生共同补充。得出：只要作出点B关于l的对称点B′，就可以满足 CB′=CB（如图5）再利用（1）的方法，连接AB′，则AB′与直线l的交点即为所求。 学生叙述，教师板书，并画图（如图5），同时学生在自己的练习本上画图。 作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′； （2）连接AB′，与直线l 相交于点C． 图5 则点C 即为所求． 问题3　你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？ 师生活动：师生共同分析，然后学生说证明过程，教师板书： 证明：如图6，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合）， 连接AC′，BC′，B′C′． 由轴对称的性质知， BC =B′C，BC′=B′C′． ∴　AC +BC = AC +B′C = AB′，AC′+BC′= AC′+B′C′． 图6 在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′， ∴　AC +BC＜AC′+BC′． 　　即　AC +BC 最短． 2、证明AC +BC 最短时，为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC