2016高中数学人教B版必修53.2“第2课时 均值不等式的应用”课件.pptVIP

均值不等式的实际应用 课时作业（十八） 7C中小学课件 教师用书独具演示 演示结束 1.熟练掌握均值不等式及应用．(重点) 2.熟练掌握利用均值不等式求函数的最值问题．(重点) 3.会用均值不等式求解实际应用题．(难点) 课标解读 应用均值不等式求最值 大 小 利用均值不等式求最值 两个变量的最值问题 ●教学流程 第2课时　均值不等式的应用 ●三维目标 1．知识与技能 巩固均值不等式的简单应用． 2．过程与方法 能灵活构造均值不等式求最值成立的三个条件． 3．情感、态度与价值观 通过对均值不等式成立的条件的分析，养成严谨的科学态度，勇于提出问题、分析问题的习惯． ●重点难点 重点：利用均值不等式求最值时必须满足三个条件：一正、二定、三相等． 难点：如何构造定值利用均值不等式求最值.●教学建议 本节我将采用学案教学，难度梯次递增．强调均值不等式应用的条件；突出均值不等式成立的条件重要性．教学中通过条件的变换体现构造定值的具体过程，配备适量的习题让学生亲身去体验，从而突破构造定值这个难点． 【问题导思】　 1．利用均值不等式求最值时，应注意什么问题？ 【提示】　在用均值不等式求函数的最大(小)值时，需要注意三个条件：一正、二定、三相等，所谓“正”是指各项或各因式为正值，所谓“定”是指和或积为定值，所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到． 2．当x0时，能用均值不等式求＋x的最值吗？怎样求？ 【提示】　能.＋x＝－[＋(－x)]≤－2×2＝－4. 3．如果给出的条件不满足均值不等式的应用条件时，怎样用均值不等式求最值？ 【提示】　先变形，后应用． 已知x、y都是正数， (1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最值. (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最值. 上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大. 2 　(1)已知x，求y＝4x－2＋的最大值； (2)已知0x，求y＝x(1－2x)的最大值； (3)已知x0，求f(x)＝的最大值． 【思路探究】　(1)这些题目能直接利用均值不等式求最值吗？(2)对其进行怎样的变形后可以用均值不等式？ 【自主解答】　(1)x，5－4x0， y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1， 当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立， 故当x＝1时，ymax＝1. (2)∵0x，1－2x0， y＝×2x(1－2x)≤×()2＝×＝. 当且仅当2x＝1－2x(0x)，即x＝时，ymax＝. (3)f(x)＝＝. x0，x＋≥2＝2， f(x)≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时等号成立． 1．本例题目都不能直接使用均值不等式求最值，需要先对其变形． 2．应用均值不等式求最值，必须按照“一正，二定，三相等”的条件进行，若具备这些条件，可直接运用均值不等式，若不具备这些条件，则应进行适当的变形． 3．利用均值不等式求最值的关键是获得定值条件，解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设应用均值不等式的条件．具体可归纳为三句话：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定应凑出定和或定积；三不等，一般用单调性． (1)已知x3，求f(x)＝x＋的最小值； (2)已知x0，y0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值． 【解】　(1)x3， x－30，0， 于是f(x)＝x＋＝x－3＋＋3 ≥2 ＋3＝7， 当且仅当x－3＝， 即x＝5时，f(x)取到最小值7. (2)∵x0，y0,2x＋3y＝6， xy＝(2x·3y)≤·()2 ＝·()2＝， 当且仅当2x＝3y， 即x＝，y＝1时，xy取到最大值. 　已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1.求x＋2y的最小值． 【思路探究】　从形式上看不具备用基本不等式求最值的条件，但根据已知变形，消去一个变量，可构造成能使用基本不等式的形式，也可使用“1”的代换，尝试解决． 【自主解答】　x＞0，y＞0，＋＝1， x＋2y＝(＋)(x＋2y)＝10＋＋ ≥10＋2 ＝18， 当且仅当 即时，等号成立， 故当x＝12，y＝3时，(x＋2y)min＝18. 1．本题给出的方法，用到了均值不等式，并且对式子进行了变形，配凑出满足基本不等式的条件，这是经常需要使用的方法，要学会观察、学会变形． 2．常见的变形技巧有：(1)配凑系数；(2)变符号；(3)拆补项．常见形式有f(x)＝ax＋型和f(x)＝ax(b－ax)型． 本例中，若把“＋＝1”改为“x＋2y＝1”，其他条件不变，求＋的最小值． 【解】　x，yR＋， ＋＝(x＋2y)(＋) ＝8＋＋＋2＝10＋＋≥10＋2＝18. 当且仅当＝时取等号， 结合x＋2y＝1，得x＝，y＝， 当x＝，y＝时，＋取到最小值18.