函数与基本初等函数第三讲：奇偶性与周期性.docVIP

函数的奇偶性与周期性 【201年高考会这样考】 1．判断函数的奇偶性． 2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用． 【复习指导】 本讲复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题． 一、基础梳理 1．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 2．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； 两个偶函数的和、积都是偶函数； 一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数． 3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 一条规律 奇、偶函数的定义域关于原点对称． 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件． 两个性质 (1)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0. (2)设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 三种方法 判断函数的奇偶性，一般有三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法． 三条结论 (1)若对于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，则：y＝f(x)是以2(b－a)为周期的周期函数． (3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2a； (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，其中一个周期为T＝2|a－b|. 双基自测 1．(2011·全国)设f(x)是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f(x)＝2x(1－x)，则f＝(　　)． A－ B.－ C. D. 2．(2012·福州一中月考)f(x)＝－x的图象关于(　　)． A．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称 3．(2011·广东)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是(　　)． A．f(x)＋|g(x)|是偶函数B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数D．|f(x)|－g(x)是奇函数 4．(2011·福建)对于函数f(x)＝asin x＋bx＋c(其中，a，bR，cZ)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是(　　)． A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 5．(2011·浙江)若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________. 考向一　判断函数的奇偶性 【例1】下列函数： f(x)＝ ＋ ；f(x)＝x3－x；f(x)＝ln(x＋)；f(x)＝；f(x)＝lg.其中奇函数的个数是(　　)． A．2 B．3 C．4 D．5 判断函数的奇偶性的一般方法是：(1)求函数的定义域；(2)证明f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立；或者通过举反例证明以上两式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何结论的，切忌主观臆断． 考向二　函数奇偶性的应用 【例2】已知f(x)＝x(x≠0)． 判断f(x)的奇偶性；(2)证明：f(x)＞0. 根据函数的奇偶性，讨论函数的单调区间是常用的方法．奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．所以对具有奇偶性的函数的单调性的研究，只需研究对称区间上的单调性即可． 【训练2】 已知奇函数f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]内递减，求满足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的实数m的取值范围． 考向三　函数的奇偶性与周期性 【例3】已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f(x)的图