线性代数习题16-17.docVIP

习题十六 向量组的线性相关性（续） 一、研究下列向量组是线性相关还是线性无关： 1）； 解：线性相关。 2）； 解：线性无关。 3）。 解：线性相关。 二、已知，，，试将向量组用向量组线性表示。 解：。 三、问t取何值时，下列向量组线性相关：。 解：因为向量组线性相关，所以 。 四、设，，，，若能由线性表示，求的取值范围。 解：由题意，下列方程组有解： 因为。 五、证明题： 1）设向量线性无关，，则向量组也线性无关。 证明：若，则 。 因为向量线性无关，所以 所以向量组也线性无关。 2）设 是一组维列向量，则线性无关行列式。 证明：线性无关方程组只有零解 。 3）若线性无关，则线性无关不能由线性表示。 证明：若能由线性表示，则线性相关，矛盾。 若线性相关，由于线性无关，所以能由 线性表示，矛盾。 习题十七 向量组的秩和极大无关组 一、填空题： 1．能互相线性表示的两个向量组，称为 等价 向量组。 2．在向量组中，若存在个向量，它们满足① 线性无关 ② 向量组中任一向量可由其余向量线性表示则称为向量组的极大无关组。 3．向量组的极大无关组所含向量个数，称为 向量组的秩 。 4．任一向量组与其极大无关组是 等价 向量组。 5．设向量组可由向量组线性表示，则向量的秩向量组的秩；若向量组与向量组等价，则它们的秩 相等 。 二、求下列向量组的秩及极大无关组，并将向量组中的其余向量用极大无关组线性表示： 1）； 2）； 3）。 解：1）由于所以线性无关。 就是极大无关组。 2） 就是极大无关组， 且。 三、设有向量组， ，求向量组的秩及其一个极大无关组，并将其余向量组用这个极大无关组线性表示。 解： 是极大无关组，且 。 四、已知，，及，，， 证明：秩=秩。 证明：由题设知：与可相互线性表示，因此， 秩=秩。 五、证明题： 1）设是一组维向量，已知维单位坐标向量能由它们线性表示，证明 线性无关。 证明：。因为能由线性表示，所以， ，因此，。 所以，线性无关。 2）设是一组维向量，则线性无关任一维向量可用它们线性表示。 证明：已知线性无关，设是任一维向量，则向量组线性相关， 因此，可用线性表示。 已知任一维向量可用它们线性表示，因此，维单位坐标向量也能由它们线性表示， 由上题知，线性无关。 3）设有三个向量组Ⅰ：；Ⅱ：；Ⅲ：。已知秩(Ⅰ)秩(Ⅱ)， 秩(Ⅲ)，证明：线性无关。 证明：假设线性相关，因为秩(Ⅰ)=3，所以线性无关，从而 可由线性表示，不妨设=。又因为秩(Ⅱ)，所以从而 可由线性表示，不妨设=，因此， =。 这与秩(Ⅲ)（从而线性无关）矛盾。因此，线性无关。 4）设是矩阵，且，则。 证明：设则。 设分别是的极大无关组，则 可由线性表示，因此， ））。