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柯西不等式 021140701 江娟子 柯西不等式是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的。 柯西不等式非常重要，灵活巧妙地应用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解。 柯西不等式在证明不等式、解三角形、求函数最值、解方程等问题的方面得到应用。 柯西不等式： 二维形式： 等号成立条件：ad=bc() 扩展: 等号成立条件:（当或时和都等于0，不考虑：，i=1,2,3,...,n） 三角形式： 等号成立条件：ad=bc 向量形式： |α||β|≥|α·β|，α=()，β=()(n∈N，n≥2) 　　 等号成立条件：β为零向量，或α=λβ(λ∈R)。 一般形式： (∑())(∑()) ≥ (∑·) 　　 等号成立条件：，或、均为零。 　　 上述不等式等同于图片中的不等式。 　　 推广形式： 　　 (+…)(+…)…(…)≥[(Πx+(Πy+… 　　 注：“Πx”表示的乘积，其余同理。此推广形式又称卡尔松不等式，其表述是：在m*n矩阵中，各行元素之和的几何平均 　　 不小于各列元素之和的几何平均之积。（应为之积的几何平均之和) 　　 概率论形式： 　　 ≥∣E(XY)∣ 【柯西不等式的应用】 　　 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。　 　　 巧拆常数证不等式 　　 例：设a、b、c为正数且互不相等。求证： ∵a 、b 、c 均为正数　 　　 ∴为证结论正确，只需证：2(a+b+c)）（）9 　　 而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)　 　　 又9=3(1+1+1) ∴只需证： 　　 2(a+b+c)（） =[(a+b)+(a+c)+(b+c)]（）]≥3(1+1+1)=9　 又∵a、b 、c互不相等，故等号成立条件无法满足　 　　 ∴原不等式成立　 　　 求某些函数最值 ：　　 例：求函数y=3+4的最大值。（注：“√”表示平方根）　 　　 函数的定义域为[5,9]，y0　 　　 y=3+4≤×=5×2=10　 (其中sup2即是2的次方)　函数仅在4=3，即x=6.44时取到。　 　　 以上只是柯西不等式的部分示例。