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对“话说不等式x1x20”一文的斟酌 ————高邮市教师进修学校 刘勇 汤有兆 225600 《中学数学》2011年第9期高中版，刊登了万尔遐老师的一篇“话说不等式x1x20”的文章。万老师的文章向来以通俗易懂且常规中透着灵气，脱俗中不失新颖见长，给人以较深的启发。但对这篇文章所介绍的初中教师的解法，笔者认为有许多值得斟酌的地方与万老师商榷，错误之处请前辈指正。 原题（高中教师的赛题） 试求最大的常数λ，使得下列不等式对于满足条件x+y+z=0的实数x,y,z恒成立： 初中老师的解法择录如下： 解答 设 ，易知 y=f(x)0， 在曲线y=f(x)上取三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)，问题转化为：当x1+x2+x3=0时，求y1+y2+y3的最大值。 当x1=x2=x3=0时，y1+y2+y3= 当x1，x2，x3中有一个不为0时，则至少有另一个不为0，不妨没x10,x20,而x3= -x1-x2。 此时有，这是一个关于x的含参数y的一元二次方程，由于y0，∴12y-10时，实根必然存在。 由韦达定理，。 由韦达定理，， 。 综合（1）（2）：，当且仅当x1=x2=x3=0时有最大常数。 斟酌一：既然有12y-10，还有论证的必要吗？ 斟酌二： x1,x2是方程的根吗？ 不错，方程 确实有二实根x1,x2，但此x1,x2绝不是题设中的x1,x2。事实上由题设知 和，得x1,x2仅仅是方程和方程的根，而不是方程的二个根。因而韦达定理的应用是错误的。 斟酌三：由x1,x2是方程的二个根得 与原条件x1+x2+x3=0显然是不等价的，它仅仅是x1+x2+x3=0的一个子集。 因此，初中教师的解法就象文学中的填词，是在猜想的基础上的僵硬的框架填空，虽然最终的结论是正确的，但其论证是错误的。 正确的解法（姑且记为高中教师的解法）为： 由题意知，x,y,z是地位相同的对称轮换式，因而自然地猜想当x=y=z=0时，表达式取得极值，但这仅仅是猜想，要证明这一结论对于高中教师而言，导数的应用是首选的方法： 解 构造函数，问题转化为：求函数u(x,y,z)在条件x+y+z=0下的极大值。 用拉格朗日条件极值的求法，构造拉格朗日函数 则由 得驻点（0，0，0） 由特殊值验证知，函数u(x,y,z)在驻点（0，0，0）处取得最大值为。所以。