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一、填空题 1、已知排列为奇排列，则 2、设，则 ＝_______ 3、若矩阵相似于矩阵，则. ( ) 4、已知矩阵满足, 则___________________________. 5、设,均为三阶方阵，且则________________. 6、 7．设是三阶矩阵，且则_____________________ 8、己知n阶方阵A可逆,｜A｜=a,则｜A*｜=__________________ 9．设，则 ＝ 。 10、 11、要使矩阵 的秩取得最小值，则__________。 12、线性方程组只有零解，则 .( ) 13、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,且X1,X2,X3是 AX=b的三个解向量,X1=(1,2,3,4)T,2+X3=(5,6,7,8)T,则该方程组 AX=b的通解是_____________. 14、 15、线性方程组AX=0解向量空间的维数为_____________________ 16．已知非齐次线性方程组的两个不同的解，，则导出组有一个非零解为 . 17、元非齐次线性方程组有唯一解的充分必要条件为_______________. 18.设为非齐次线性方程组的增广矩阵，为方程组中未知量的个数，则该方程组有唯一解的充要条件是 . 19、向量组线性____________. 20、设向量组线性无关,则向量组 线性 关 . 21、若向量组是线性相关的,则一定可 由线性表示. 22、由个维向量组成的向量组，当 时， 向量组一定线性相关 23、若三阶方阵的特征值是1，2，3 ，则_____________ 24、当=__________时，向量， 正交 25、若零为矩阵A的一特征值，则=______________ 26、设n阶矩阵A可逆,λ是A的特征值。则(A2)-1的特征值为_______ 27、方阵的特征值 28、是方阵的特征值，则 为的特征值. 29、设为正交阵，则 . 30、若与相似，则 31、正交矩阵 32、. 33、（） 34、对称矩阵所对应的二次型为 35、设A与B均为n阶正交矩阵,证明：AB 也是正交矩阵. 证：ATA=E,BTB=E,(AB)T(AB)=E,所以(AB) 解 原式= 2、 3、计算行列式,其中a1 ,a2 ,a3 ,a4全不相同 4、设Mij的元素aij的余子式,求M11+M21+M31+M41. M11+M21+M31+M41=0 5、设 ，， （1）．计算、； （２）．求 ⑴ ， ⑵ 6、 = 7、 解 8、 9、按第一列展开， 三、矩阵方程 1、解矩阵方程 2、解矩阵方程 四、向量部分 1、设向量组 (1)求向量组的秩; (2)求向量组的一个极大线性无关组,并把其余的向量用此极大无关组线性表示． 解 　　 (1)秩为2 (2)一个极大无关组为, ，　 2、设A= (1)求；(2) 求A的列向量组的一个极大无关组； (3)把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示 R(A)=3 a1 a2 a4 a3=a1+a2 a5=a1+2a2+a4 3、已知向量组线性无关，证明：向量组，也线性无关． 证 令 得只有零解，线性无关 4、设、、线性无关，又= ++，= ++， = ++，试证明、、线性无关。 令， 即 因、、线性无关，故 只有零解，从而、、线性无关。 五、方阵的特征值和特征向量 1、设矩阵 求矩阵的特征值与特征向量;判别矩阵能否对角化． (1)特征值 ; A可对角化. 2、设A=, (1)求A的特征值与特征向量; (2) 求｜E+A-1｜. 解： ⑴ ｜λE-A｜=-(λ+1)(λ-2)2 , A的特征值λ1=-1,λ2=λ3=2; 当λ1=-1的特征向量为k,(k≠0), 当λ2=λ3=2的特征向量为k1,(k1,k2不全为零) E+A-1的特征值为0, ｜E+A-1｜=0 3、设矩阵，已知是的一个特征值，试求的全部特征值和 特征向量 4、设的特征值试求参数之值 得 六、线性方程组 1、非齐次线性方程组 当取何值时，方程组有解?　有解时，求出它的通解 解 方程有解 2、确定的值，使方程组 有解，并求通解. （） 时，，方程组有无穷多解，此时, , 通解 = 3、对于线性方程组，讨论为何值时方程组有无穷多解，并在有无穷多解时求其通解。 时，有无穷多解, （为任意常数） 4、设 , 问为何值