导数、函数、不等式综合题.docVIP

导数、函数、不等式综合题 1. 函数的单调性与导数的关系 一般地，函数的单调性与其导函数的正负有如下关系： 在某个区间内，如果，那么函数在这个区间内单调递增；如果，那么函数在这个区间内单调递减。 2. 判别f（x0）是极大、极小值的方法 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值。 3. 求函数的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数（x）。 （2）求方程（x）＝0的根。 （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格。检查（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f（x）在这个根处无极值。 4. 求函数最值的步骤： （1）求出在上的极值。（2）求出端点函数值。（3）比较极值和端点值，确定最大值或最小值。 例题1 已知函数f（x）＝，mR。 （1）求f（x）的极值； （2）若lnx－ax0在（0，＋∞）上恒成立，求a的取值范围解析：（1）由导数运算法则知，（x）＝令（x）＝0，得x＝em当x∈（0，em）时，f′（x）0，f（x）单调递增； 当x∈（em，＋∞）时，f′（x）0，f（x）单调递减故当x＝em时，f（x）有极大值，且极大值为f（em）＝e－m（2）欲使lnx－ax0在（0，＋∞）上恒成立，只需a在（0，＋∞）上恒成立，等价于只需在（0，＋∞）上的最大值小于a设g（x）＝（x0），由（1）知，g（x）在x＝e处取得极大值所以a，即a的取值范围为a的形式之后，又可转化为求最值问题。此种方法叫做分离参数法。 例题2 函数f（x）R，f（－1）＝2，，，的解集为（ ） A.（－1，1） B.（－1，＋∞） C.（－∞，－l） D.（－∞，＋∞） ，则， ，对任意，有，即函数在R上单调递增，则的解集为，即的解集为，选B。 1