Majorization_不等式其实是琴生.docVIP

Majorization 不等式其实(Jensen)不等式的一个广Majorization 不等式其实(Jensen)不等式的一个广对个(凹)的函数给个(极大值或极小值)，而Majorization 不等式能够在某况样给两为这个绍对实数majorization概念。 定义 设 (x1, x2, ...., xn)(y1, y2, ...., yn)为两个n实数组，且满条 x1≧ x2≧　 ....≧ xn，y1≧ y2≧　 ....≧ yn，且 ?x1≧y1，x1+ x2≧y1+y2 , x1+ x2+ x3≧y1+y2+y3 , ..... , x1+ ....+ xn-1≧y1+....+yn-1 ，及 x1+ ....+ xn=y1+....+yn ； 则记(x1, x2, ...., xn)(y1, y2, ...., yn) 其实对的比较Schur所定义说当总数对 已知一数 定理(Majorization 不等式)： 设函数 f 闭区间 I=[a, b]为 (x1, x2, ...., xn)(y1, y2, ...., yn)其中实数xi, yjI。则 f(x1)+ f(x2)+ .... + f(xn)≧f(y1)+ f(y2)+ .... + f(yn)。 此外，对于严格数f号当仅当 这两个n组(x1, x2, ...., xn) = (y1, y2, ...., yn)。 对数须将结论换过来 注：Majorization不等式的证将 ? 以下要证Majorization 不等式中得出。这观 (x1, x2,..., xn)(x, x, ...., x)，其中x是x1, x2,..., xn的平均值。 应Majorization 不等式而得到琴生不等式。 只须要证 对k=1, 2, ...., n-1，有x1+ x2+ ...+xk≧kx。 (略去) 。　 对锐ABC，证1 ≦cos A+ cos B + cos C≦ 3/2。试号条 证设C≦B≦AA+B+C=π，因而C≦π/3≦A≦π/2。所以有(π/2, π/2, 0)(A, B, C)((π/3, π/3, π/3)。已知余弦函数cos(x)闭区间[0, π/2]严格Majorization不等式，得1=cos(π/2)+cos(π/2)+cos(0)≦ cos A+ cos B + cos C≦cos(π/3)+cos(π/3)+cos(π/3)=3/2 。 ? 证a、b为负实数则 (Math Horizons, 1995年十一月) 证两对ab是对称设a≦b记x1=b+3√bx2=b+3√a、x3=a+3√b、x4=a+3√a。得知x1、x4分别四个数x1+x4=x2+x3，得(x1, x4)(x2, x3)或者(x3, x2)视乎x2x3的大小。 由于函数f(x)=3√x在区间[0, +∞)严格Majorization不等式，得。 ? 试a12+b12+c12的极大值，其中-1≦a、b、c≦1及a+b+c = -1/2。 证 已知函数f(x)=x12在区间[-1,1](这阶导数f(x)≧0则运f(x)=((x2)2)3，并且每个数在当义) 如果1≧a≧b≧c≧-1，及a+b+c=-1/2，则1/2=1 - 1/2≧-c - 1/2=a+b，所以有(1,-1/2,-1)(a,b,c)，由Majorization不等式，有 a12+b12+c12=f(a)+f(b)+f(c)≦f(1)+f(-1/2)+f(-1)=2+2-12。 (1999 IMO)设n个数n≧2。 确定最小常数C Σ　　 1≦ij≦n xi xj (xi2+xj2)≦C( Σ　　 1≦i≦n xi　)4 对负实数x1, x2 , ..... , xn 对这个常数C号条 证两证 先用Majorization不等式证n=2的情况 令m=(x1+x2)/2、h=(x2-x1)/2；x1=m-h，x2=m+h，由此可知 x1x2(x12+x22)=2(m4-h4)≦4m4=(x1+x2)4/8。 等式成立当当仅h=0x2=x1。 当n2ai=xi/(x1+...+xn)，则a1+...+an=1为写为Σ1≦ij≦n aiaj(ai2+aj2)≦C 而左式其实为Σ1≦i≦n ai3(a1+..+ai-1+ai+1+...+an)=Σ1≦i≦n ai3(1-ai)=Σ1≦i≦n f(ai)f(x)=x3(1-x)=x3-x4在区间[0,1/2]严格 现对a1, a2, ...., an对称设a1≧a2≧ ....≧an 若a1≦1/2，则(1/2, 1/2, 0, 0, .., 0)(a1, a2, .