第一章 概率论的基本概念66055.ppt

* 考虑古典概型的一个例子 例 一袋中装有a只黑球和b只白球，采用有放回摸球，求： (1)在已知第一次摸得黑球的条件下，第二次摸出黑球的概率； (2)第二次摸出黑球的概率。 解 以事件A表示第一次摸得黑球，事件B表示第二次摸得白球，则 所以 而 注意这里的 * 考虑古典概型的一个例子 在前例中，若采用不放回摸球，试求同样那两个事件的概率。解 这时 所以 而 注意这里的 * 事件独立性的定义 设A,B是两个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B)， 则称事件A,B相互独立，简称A,B独立。 * [思考] 若P(A)0,P(B)0,则A,B相互独立与A,B互不相容是否能同时成立？ 答 不能 * 定理1及其证明 设A,B是两个事件，且P(A)0，若A,B相互独立，则 反之亦然。 证 由条件概率的定义得 * 定理2及其证明 若事件A与B相互独立，则下列各对事件也相互独立。 证 由于 * 3个事件独立性的定义 设A,B,C是三个事件，如果满足等式 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 则称事件A,B,C相互独立。 * [思考] 三个事件A,B,C两两独立，能否保证他们相互独立呢？即能否由 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C) 推出 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) . 答：不能。这从下面的例子可以看出。 * 例22 一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色，而第四面同时染上红，白，黑三种颜色。现在我们以A，B，C分别记投一次四面体出现红，白，黑颜色的事件，则由于在四面体中有两面有红色，因此 P(A)=1/2 同理P(B)=P(C)=1/2，容易算出 P(AB)=P(BC)=P(AC)=1/4 所以A,B,C两两独立，但是 P(ABC)=1/4≠1/8=P(A)P(B)P(C) * [思考] 能否由 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 推出 P(AB)=P(A)P(B) P(BC)=P(B)P(C) P(AC)=P(A)P(C). 答：不能。这从下面的例子可以看出。 * 例23 若有一个均匀正八面体，其第1，2，3，4面染红色，第1,2，3,5面染白色，第1，6，7，8面染上黑色，现在以A,B,C分别表示投一次正八面体出现红，白，黑的事件，则 P(A)=P(B)=P(C)=4/8=1/2 P(ABC)=1/8=P(A)P(B)P(C) 但是 P(AB)=3/8≠1/4=P(A)P(B) * n个事件独立性的定义及其推论 一般，设A1,A2, …An是n(n≥2)个事件，如果对于其中任意2个，任意3个，…，任意n个事件的积事件的概率，都等于各事件概率之积，则称事件相互独立。 由定义，可以得到以下两点推论。 ⑴若事件A1,A2, …An(n≥2)相互独立，则其中任意k(2≤k≤n)个事件也是相互独立的。 ⑵若n个事件(n≥2)相互独立，则将A1,A2, …An任意多个事件换成它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。 推论1，可由独立性的定义直接推出；推论2，对于n=2的情形已证得，一般情况可由数学归纳法证得。 * 事件独立性的应用 在实际应用中，事件的独立性往往不是由定义，而是由问题的实际意义来判断。如A,B分别表示甲、乙两人患感冒，如果甲乙两人的活动范围相距甚远，就认为A,B相互独立；如果甲乙两人同是住在一个房间里的，那就不能认为A,B相互独立了。事件的独立性对于计算事件的概率有很重大的作用，特别是复杂事件的概率在满足事件相互独立这一条件时，计算起来会十分简便。 * 两事件A,B独立与两事件A,B互斥有什么关系？ 这两个概念并无必然的联系。两事件A,B独