东北大学《线性代数》4-4线性方程组的解的结构.pptVIP

§4 线性方程组解的结构 （1）掌握齐次线性方程组基础解系的概念和求法； （2）理解齐次线性方程组解集的秩与系数矩阵秩的关系； （3）掌握齐次线性方程组的通解结构； 目的要求 （4）掌握非齐次线性方程组的通解结构. 一．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解， 则 也是 的解. ( 2）若 为 的解， 为实数，则 也是 的解． 二、基础解系定义 基础解系. 注：基础解系是齐次线性方程组的解向量组（空间）的最大无关组. 三、齐次线性方程组的通解结构 设有 n 元齐次线性方程组 设R(A)= r n, 且不妨假设A的前 r 列线性无关, Ax = 0 (1) 于是得到与⑴同解的方程组： 于是得（1）的通解为： （1）的通解为 是（1）的解向量， 且线性无关； 分析： 由于 个 维向量 线性无关， 所以 个 维向量 亦线性无关. 是（1）的解向量， 且线性无关； 分析： 所以 解向量组（空间） 的每个向量均可由 线性表示 是齐次线性方程组的（1） 的一个基础解系. 齐次线性方程组解的结构定理 Ax = 0 ⑴ 则解集的秩为 n - r ， 即 ⑴ 的基础解系含 n - r 个解向量. 若 R(A) = r n ， 定理 n 元齐次线性方程组 则通解为 若基础解系为 注： 时，齐次线性方程组只有 零解， 没有基础解系. 都可以作为基础解系， 的任意n-r个线性无关的解向量 时，齐次线性方程组（1） 基础解系不唯一. 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解: 便得到同解方程组： 即得基础解系 例2 证 若 若 四、非齐次线性方程组解的性质 五、非齐次线性方程组的通解 非齐次线性方程组Ax=b的通解为 取定非齐次线性方程组Ax=b的一个解 对于Ax=b的任意解 ，都有 是Ax=0的解， 设Ax=0的基础解系为 于是存在数 使得 即 而 都是Ax=b的解. ，则 齐次通解 非齐次特解 例3 求解方程组 解： 例4 例5 思考题 思考题解答 §4 线性方程组解的结构 （1）齐次线性方程组基础解系的概念和求法（两种求法）； （2）齐次线性方程组解集的秩与系数矩阵秩的关系： （3）齐次线性方程组的通解结构； 内容小结 （4）非齐次线性方程组的通解结构.