东北大学《线性代数》5-3、4 相似矩阵及对称矩阵的对角化.pptVIP

第五章 相似矩阵及二次型 　　解 　　例9　设　　　　　　　， 使得　　　　　为对角阵 求一个正交阵 得　的特征值 第五章 相似矩阵及二次型 得基础解系 　　当　　　时， 解方程 单位化得 第五章 相似矩阵及二次型 得基础解系 　　当　　　　时， 解方程 若取 如何 第五章 相似矩阵及二次型 　　将　　　正交化： 取　　　， 再将　　单位化得 第五章 相似矩阵及二次型 有 　　将　　　　构成正交矩阵 第五章 相似矩阵及二次型 　　解 　　例10　设　　　　　　， 求 因　是实对称阵， 故　可对角化， 使得 即存在可逆矩阵　及对角阵　， 于是　　　　， 从而 得　的特征值 第五章 相似矩阵及二次型 　　于是 得 　　对应 　　， 得 　　对应　　 ， 第五章 相似矩阵及二次型 得 　　于是 内容小结 第五章 相似矩阵及二次型 　　1、相似矩阵的定义 　　（1） 　　存在可逆矩阵　， 使得 　　2、相似矩阵的性质 　　若　阶矩阵　与　相似 　　（2） 　　（3）　与　相似 第五章 相似矩阵及二次型 　　（6）　与　有相同的特征多项式 　　（4）若　可逆，则　可逆， 　　（5）若　　是多项式， 则　　与　　相似 　　（7）　与　有相同的特征值 　　（8）　与　有相同的迹 　与　也相似 　　（9）　与　等价 　　3、矩阵可对角化 关的特征向量 存在　个线性无 第五章 相似矩阵及二次型 　　4、矩阵对角化问题归纳如下 　　（1）若矩阵　的特征方程　　　　　无 重根， 则　一定可以对角化； 　　（2）若矩阵　的特征方程　　　　　有 重根， 则　可以对角化； 当齐次线性方程组　　　　　　有　个 线性无关的解向量， 否则不能对角化 的特征向量， 即矩阵　有　个线性无关 第五章 相似矩阵及二次型 　　（3）若矩阵　可以对角化， 对角阵　作为相似变换的结果， 特征值构成， 而这些特征值的排列顺序与矩阵 则相似变换 矩阵　由　的　个特征向量为列向量构成， 　中特征向量的排列顺序相同。 由对应的　个 第五章 相似矩阵及二次型 　　5、　阶实对称矩阵　的有关结论 　（1）　的特征值都是实数 　（2）　的对应不同特征值的特征向量正交 值的线性无关的特征向量 　（4）　一定相似于对角阵， 　（3）　的　重特征值恰有　个属于此特征 且存在正交矩阵 　， 使得　　　　　　　　为对角阵 第五章 相似矩阵及二次型 　　6、利用正交变换将实对称矩阵　对角化 　（1）解特征方程　　　　　， 找出全部不同 的特征值　　　　　　； 　（2）对每个特征值　， 解方程 可得　的属于　的线性无关的特征向量（基础 解系）　　　　　　　　　　； 　（3）将属于每个特征值　的特征向量 第五章 相似矩阵及二次型 先正交化， 得　个两两正交的单位 且有 　（4）令　　　　　　　， 再单位化， 向量　　　　　； 则　为正交矩阵， * 寻找 §3-4 相似矩阵与方阵对角化 本章中心： 使二次型 转换为标准形 正交变换 复习： 本章结构： 二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准型 本节目的与要求： (1)理解相似矩阵的概念与性质； (2)会利用相似矩阵性质解决一些简单问题； (3)理解方阵对角化的充要条件； (4)了解实对称矩阵的特征值、特征向量的性质； (5)会用正交变换法将实对称矩阵化为对角阵。 一、相似矩阵与相似变换的概念 定义1 设 A，B都 是 n 阶矩阵， 可逆矩阵P,使得 若有 则称矩阵 A 与 B 相似， 称可逆矩阵P 为把A 变成B的相似变换矩阵. 称 为对A进行相似变换（运算）. k个 二、相似矩阵与相似变换的性质 1、 定理1 相似矩阵有相同的行列式 相似矩阵有相同的特征多项式 相似矩阵有相同的特征值 三、方阵A可对角化定义： 推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵 相似， 称A 可对角化 利用对角矩阵计算矩阵多项式 　　利用上述结论可以很方便地计算矩阵A 的多项式 四、方阵可对角化的充要条件 n 阶矩阵A可对角化 A有n 个线性无关的特征向量. 若能求出A的n个线性无关特征向量，则A可对角化，且对角阵主对角线元素恰好是特征向量依次对应的特征值. 定理2 n 阶矩阵 A 可对角化 A有n 个线性无关的特征向量. 上诉推导过程说明： 若A只有m个不同特征值 则 n 阶矩阵A可对角化 相应于每个特征值的最大线性无关特征向量组为： 推论：若A有n个互异的特征值，A可对角化。 分析： 回顾上一节课的三个例题 例1 求矩阵 的特征值与特征向量 相应于 的特征向量为 相应于 的特征