东北大学《线性代数》4-5 向量空间.pptVIP

* 　　（一）向量空间的概念 §4.5 向量空间 　　（二）向量空间的基与向量的坐标 * 　　（一）向量空间的概念 第四章 向量组的线性相关性 若集 　　 【定义1】设　是　维向量的集合， 合　非空， 且集合　对向量的加法及数乘两种 运算封闭， 那么就称集合　为向量空间。 　　说明 （1）集合　对加法和数乘封闭指 　　若 　　若 * 第四章 向量组的线性相关性 　　（2）　维向量的集合是一个向量空间， 记作　。 　　因为 　　任意两个　维向量之和仍是　维向量； 　　数　乘　维向量仍是　维向量。 * 第四章 向量组的线性相关性 　　例1　判断下列集合是否为向量空间 　　解 故　是向量空间。 * 第四章 向量组的线性相关性 　　例2　判断下列集合是否为向量空间 　　解 故　不是向量空间。 * 第四章 向量组的线性相关性 　　例3　讨论齐次线性方程组的解集 　　解 故　是向量空间。 是否为向量空间。 由齐次线性方程组解的性质知 其解集对加法和数乘封闭， 称其为齐次线性方程组的解空间。 * 第四章 向量组的线性相关性 　　例4　讨论非齐次线性方程组的解集 　　解 故　不是向量空间。 是否为向量空间。 当　非空时， 若　　　， 有 因此　　　， * 第四章 向量组的线性相关性 　　解 故　是向量空间， 是否为向量空间。 若　　　　　　　　　　　　， 有 集合 　　例5　设　　为两个已知的　维向量， 称为由　 生成的向量空间。 * 第四章 向量组的线性相关性 　　一般地， 空间为 由向量组　　　　　生成的向量 * 第四章 向量组的线性相关性 　　证 设　　， 　　例6　设向量组　　　　　与向量组 等价， 记 试证　　　。 则　可由　　　　线性表示 故　可由 因　　　　可由　　　　线性表示， * 第四章 向量组的线性相关性 因此 线性表示， 所以　　　， 这就是说， 若 故 　　类似地， 若 故 证毕 * 第四章 向量组的线性相关性 且满足 　　 【定义2】设　是向量空间， 向量　　　　　　， 表示。 　　（1）　　　　线性无关； 　　（2）　中任一向量均可由　　　　线性 那么向量组　　　　就称为向量空间　的一个 　　（二）向量空间的基与向量的坐标 若存在　个 * 第四章 向量组的线性相关性 （1）只含有零向量的向量空间称为 　　说明 基就是向量组的最大无关组， 基， 　　（2）若将向量空间看成向量组， 　称为向量空间　的维数， 量空间。 并称　为　维向 0维向量空间， 因此它没有基。 那么　的 　的维数就是向量 组的秩。 * 第四章 向量组的线性相关性 即　是基所生成的向量空间， 一个基， 由此得出了向量 　　例如齐次线性方程组的解空间 空间　的构造方法。 　　（3）若向量组　　　　是向量空间　的 则　可表示为 若能找到解空间的一个基　　　　　， 则解空 间为 * 第四章 向量组的线性相关性 　　 【定义3】若在向量空间　中取定一个基 　　特别地， 的坐标。 标向量组　　　　为基， 那么　中任一向量　可唯一表示为 其中数组　　　　称为向量　在基　　　　中 在　维向量空间， 取单位坐 则以　　　　　为分 * 第四章 向量组的线性相关性 可表示为 分量。 可见向量在基　　　　中的坐标就是该向量的 量的向量　， 因此　　　　称作 中的自然基。 * 第四章 向量组的线性相关性 　　例7　设 验证　　　是　的一个基， 中的坐标。 并求　　在这个基 * 第四章 向量组的线性相关性 　　证 　　设 即 只要证明 要证　　　是　的一个基， 　　　线性无关即可。 若用　　　表示 记作 * 第四章 向量组的线性相关性 　　对矩阵　　　施行初等行变换， 则　　　为　的一个基， 此时　变为 若　变成 * 第四章 向量组的线性相关性 因有　　， 故　　　为　的一个基。 且 即　　在基　　　中的坐标依次为 和 * 第四章 向量组的线性相关性 　　解 　　例8　在　中取定一个基　　　， 再取一 设 个新基　　　， 式）， 求用　　　表示　　　的表示式（基变换公 并求向量在两个基中的坐标之间的关系 式（坐标变换公式）。 * 第四章 向量组的线性相关性 故 即基变换公式 其中表示式的系数矩阵　　　　称为从旧基到 新基的过渡矩阵。 　　设向量　在旧基和新基中的坐标分别为 　　　和　　　， 即 * 第四章 向量组的线性相关性 故 即 即为从旧基到新基的 得 坐标变换公式 * 第四章 向量组的线性相关性 　　1、向量空间的概念 内容小结 　　2、向量空间的基及维数 ——向量组的最大无关组及秩 　　3、旧基到新基的过渡矩阵和坐标变换公式