东北大学《线性代数》5-2 方阵的特征值及特征向量.pptVIP

寻找 §2 方阵的特征值与特征向量 本章中心： 使二次型 转换为标准形 正交变换具有保距性和保角性 保持形状不变的可逆线性变换 正交变换 本章结构： 二次型的定义及矩阵表示 正交向量组 特征值与特征向量 方阵对角化的充要条件 对称方阵对角化 二次型化标准型 本节重点： (1) 矩阵的特征值与特征向量概念 (2) 矩阵的特征值与特征向量的计算 (3) 矩阵的特征值与特征向量的性质 一、特征值与特征向量定义： 定义1 设 A 是 n 阶方阵， 和 n 维非零列向量 p 称为 A 的对于特征值 使得 非零向量 p 如果数 的特征向量. 那么数 称为方阵A的特征值， 二、特征值判定和计算： n 维非零列向量 p, st. n 维非零列向量 p, st. 有非零解 p, 特征多项式定义： 定义2 称 为n阶矩阵A的特征方程； 称 为n阶矩阵A的特征多项式. 求n阶特征值和特征向量的方法： 1. 求特征多项式 就是n阶矩阵A的特征值； 2. 求特征方程 的根 的非零解(一个基础解系)， 3. 求解齐次线性方程组 就是n阶矩阵A的特征向量. 例1： 求矩阵 解 （1）A的特征多项式 （2） A的特征值为 的特征值与特征向量。 （1）特征多项式 （2）特征值为 （3）相应于特征值 相应于 的特征向量为 的特征向量应满足 例1： 求矩阵 的特征值与特征向量。 （4）相应于特征值 相应于 的特征向量为 的特征向量应满足 例1： 求矩阵 的特征值与特征向量。 相应于 的特征向量为 相应于 的特征向量为 结果分析： 线性无关 正交 例1： 求矩阵 的特征值与特征向量。 求矩阵 的特征值与特征向量。 例2： 解 得基础解系 得基础解系 得特征向量 得特征向量 结果分析： 是线性无关向量组 不是正交向量组 求矩阵 的特征值与特征向量。 例2： 例3 求矩阵 的特征值与特征向量。 解 得基础解系 得基础解系 得特征向量 得特征向量 结果分析： 是线性无关向量组 ，不是正交向量组 例3 求矩阵 的特征值与特征向量。 三、特征向量性质： 定理1 一个特征向量不可能对应两个不同 的特征值. 定理2 每一个特征值对应一系列特征向量. 证明： 四、特征值性质： 定理3 则 （1） 是 的特征值. (2) 的特征值. (4) 的特征值. (3) 的特征值. 定理4 那么 线性无关. 是方阵A的不同特征值， 是分别与之对应的特征向量, 定理5 是对应 的线性无关的特征向量组, 是对应 的线性无关的特征向量组, 是对应 的线性无关的特征向量组, 那么 线性无关. 是方阵A的不同特征值， 定理6 设n个特征值为 ，则有 （2） （1） 例4 内容小结 第五章 相似矩阵及二次型 　　1、特征值与特征向量的定义 　 2、特征值与特征向量的求法 　 3、特征值与特征向量的性质 思考题：