估计量的评.pptVIP

* 第二节 * 对于同一个参数,用不同的方法可以得到不同的估计量. 现在的问题是,当同一参数出现多个估计量时,究竟哪一个更好呢? 这就涉及到用什么标准来评价估计量的问题. 确定估计量好坏的标准必须是整体性的,说得明确一点就是,必须在大量观察的基础上从统计的意义上来评价估计量的好坏.也就是说,估计的好坏取决于估计量的统计性质.一般认为,一个“好”的估计量应该具有如下的条件: * 估计量是随机变量, 对于不同的样本值就会得到不同的估计值, 希望估计值在未知参数真值左右徘徊, 最好它的数学期望等于未知参数的真值, 这就导致了无偏性这个标准。 定义 一、无偏性 * * 样本方差 * 例1 证 例2 证 * 二、有效性 一般来说,一个参数往往有多个无偏估计量. 若 有两个无偏估计量: , 则 当a+b=1时也是 的无偏估计量。 估计量的无偏性只保证了估计量的取值在参数真值周围波动,但是波动的幅度有多大呢?自然的, 我们希望估计量波动的幅度越小越好,幅度越小,则估计量取值与参数真值有较大偏差的可能性越小,而衡量随机变量波动幅度的量就是方差.这样就有了我们下面要介绍的有效性的概念. * 定义 例3 * 证 * 证 * 定理 此定理说明,增加样本容量可提高估计量的有效性。 有效性概念说明,在无偏估计量中,方差越小越有效,那末,方差是否有下界呢？ Rao-Cramer不等式 * 三、相合性 定义 时, 即当 依概率收敛于 直观上看,当n增大时,样本信息增多,当然希望估计量越来越靠近真值的概率也越来越大, 这种想法就引出了上面的一致性概念. 一致估计量一般地是当样本容量很大时,才能显示其优点. * 由辛钦大数定理可以证明， 是DX的一致估计量。 * 练习： P201 习题七 * END 设是总体X的一个样本,是未知参数 的估计量,如果有 则称为 的无偏估计量。 无偏估计量的含义是：作为样本的函数是一个随机变量，它在的真值附近波动，但其平均值恰好是的真值。比如用一台秤去称物品，误差有两个来源：一是秤本身制作结构上的问题，这属于系统误差；另一种是操作上或其它随机因素的干扰，这属于随机误差。无偏性即要求没有系统误差。 设为取自总体X的样本， 说明是总体均值的无偏估计； 说明是总体方差的无偏估计. 说明是的有偏估计. 设,,试问 是否为 的无偏估计？ 设总体X服从均匀分布，试证 的矩法估计量是的无偏估计量。 故不是的无偏估计。 设为取自总体X的样本, 试证明下列三个统计量均为EX的无偏估计量，并比较有效性. 设总体有一未知参数 ,样本，均为的无偏估计，如果 则称比有效。 所以均为EX的无偏估计量。 所以最为有效。 从正态总体中分别抽取容量为和的两个相互独立的样本，其样本方差分别为和，它们都是的无偏估计。当时，有 。 取到等号时,称为的有效估计量. 如果对,有 则称是的相合估计量。 由切比雪夫大数定律,对,有 可知是EX的一个一致估计量。