中考数学压轴题全解：2-2倍长中线.pdfVIP

2.2 倍长中线 【方法说明】 遇到一个中点的时候，通常会延长过该中点的线段．倍长中线指延长一边的中线至一点，使 所延长部分与该中线相等，并连接该点与这一条边的一个顶点，得到两个三角形全等．如图 所示，点D 为△ABC 边BC 的中点．延长AD 至点E ，使得DE ＝AD ，并连接BE ，则△ADC ≌△EDB （SAS）． A A B D C B D C E 【典型例题】 1．（09 莱芜）已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ， 连接DF ，G 为DF 中点，连接EG ，CG． （1）求证：EG ＝CG； （2 ）将图2.2.1 中△BEF 绕B 点逆时针旋转45°，如图2.2.2 所示，取DF 中点G，连接EG ， CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3 ）将图①中△BEF 绕B 点旋转任意角度，如图2.2.3 所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）． A D A D A D G G G E E F E F B F C B C B C 图2.2.1 图2.2.2 图2.2.3 【思路点拨】 （1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可证出CG＝EG ． （2 ）结论仍然成立，连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点；再证 明△DAG ≌△DCG ，得出 AG ＝CG ；再证出△DMG ≌△FNG ，得到 MG ＝NG ；再证明 △AMG ≌△ENG ，得出AG ＝EG ；最后证出CG＝EG ． （3 ）结论依然成立．还知道EG ⊥CG． 【解题过程】 解：（1）∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCF ＝90°， 1 在Rt△FCD 中，∵G 为DF 的中点，∴CG＝FD ， 2 1 同理，在Rt△DEF 中，EG ＝FD ，∴CG＝EG ． 2 （2 ）（1）中结论仍然成立，即EG ＝CG． 【方法一】 连接AG ，过G 点作MN ⊥AD 于M ，与EF 的延长线交于N 点． 在△DAG 与△DCG 中，∵AD ＝CD，∠ADG ＝∠CDG，DG ＝DG ， ∴△DAG ≌△DCG （SAS），∴AG ＝CG；在△DMG 与△FNG 中， ∵∠DGM ＝∠FGN ，FG ＝DG ，∠MDG ＝∠NFG ，∴△DMG ≌△FNG （ASA ）， ∴MG ＝NG ；∵∠EAM ＝∠AEN ＝∠AMN ＝90°，∴四边形AENM 是矩形， 在矩形AENM 中，AM ＝EN ， 在△AMG 与△ENG 中，∵AM ＝EN ，∠AMG ＝∠ENG ，MG ＝NG ， ∴△AMG ≌△ENG （SAS），∴AG ＝EG ，∴EG ＝CG．