[2017年整理]解析几何第三章答案.docVIP

平面与空间直线 § 3.1平面的方程 1.求下列各平面的坐标式参数方程和一般方程： （1）通过点和点且平行于矢量的平面（2）通过点和且垂直于坐标面的平面； （3）已知四点，，。求通过直线AB且平行于直线CD的平面，并求通过直线AB且与平面垂直的平面。 解： （1） ，又矢量平行于所求平面， 故所求的平面方程为： 一般方程为： （2）由于平面垂直于面，所以它平行于轴，即与所求的平面平行，又，平行于所求的平面，所以要求的平面的参数方程为： 一般方程为：，即。 （3）（ⅰ）设平面通过直线AB，且平行于直线CD： ， 从而的参数方程为： 一般方程为：。 （ⅱ）设平面通过直线AB，且垂直于所在的平面 ， 均与平行，所以的参数式方程为： 一般方程为：. 2.化一般方程为截距式与参数式： . 解： 与三个坐标轴的交点为：， 所以，它的截距式方程为：. 又与所给平面方程平行的矢量为：， 所求平面的参数式方程为： 3.证明矢量平行与平面的充要条件为：. 证明： 不妨设， 则平面的参数式方程为： 故其方位矢量为：， 从而平行于平面的充要条件为： ，共面 . 4.已知：连接两点的线段平行于平面，求里的坐标. 解： 而平行于 由题3知： 从而. § 3.2 平面与点的相关位置 1.计算下列点和平面间的离差和距离： （1）， ； （2）， . 解： 将的方程法式化，得： ， 故离差为：， 到的距离 （2）类似（1），可求得 ， 到的距离 2.求下列各点的坐标： （1）在轴上且到平面的距离等于4个单位的点； （2）在轴上且到点与到平面距离相等的点； （3）在x轴上且到平面和距离相等的点。 解：（1）设要求的点为则由题意 或7. 即所求的点为（0，-5，0）及（0，7，0）。 （2）设所求的点为则由题意知： 由此，或-82/13。 故，要求的点为及。 （3）设所求的点为，由题意知： 由此解得：或11/43。 所求点即（2，0，0）及（11/43，0，0）。 3.已知四面体的四个顶点为，计算从顶点向底面ABC所引的高。 解：地面ABC的方程为： 所以，高。 4.求中心在且与平面相切的球面方程。 解：球面的半径为C到平面：的距离，它为： ， 所以，要求的球面的方程为： . 即：. 3.3 两平面的相关位置 1.判别下列各对直线的相关位置： （1）与； （2）与； （3）与。 解：（1） ， （1）中的两平面平行（不重合）； （2） ， （2）中两平面相交； （3） ， （3）中两平面平行（不重合）。 2.分别在下列条件下确定的值： （1）使和表示同一平面； （2）使与表示二平行平面； （3）使与表示二互相垂直的平面。 解：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则： 即： 从而：，，。 （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则： 所以：，。 （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则： 所以： 。 3.求下列两平行平面间的距离： （1），； （2），。 解：（1）将所给的方程化为： 所以两平面间的距离为：2-1=1。 （2）同（1）可求得两平行平面间的距离为1+2=3。 4.求下列个组平面成的角： （1），； （2），。 解：（1）设：，： 或。 （2）设：，： 或。 § 3.4空间直线的方程 1.求下列各直线的方程： （1）通过点和点的直线； （2）通过点且平行于两相交平面： 的直线； （3）通过点且与三轴分别成的直线； （4）通过点且与两直线和垂直的直线； （5）通过点且与平面垂直的直线。 解：（1）由本节（3.4—6）式，得所求的直线方程为： 即：，亦即。 （2）欲求直线的方向矢量为： 所以，直线方程为：。 （3）欲求的直线的方向矢量为：， 故直线方程为：。 （４）欲求直线的方向矢量为：， 所以，直线方程为： 。 （５）欲求的直线的方向矢量为：， 所以直线方程为： 。 ２.求以下各点的坐标： （１）在直线上与原点相距２５个单位的点； （２）关于直线与点对称的点。 解：（１）设所求的点为，则： 又 即：， 解得：或 所以要求的点的坐标为：。 （２）已知直线的方向矢量为：，或为， 过垂直与已知直线的平面为：， 即， 该平面与已知直线的交点为，所以若令为P的对称点，则： ，， 　　， 即。 ３.求下列各平面的方程： （１）通过点，且又通过直线的平面； （２）通过直线且与直线 平行的平面； （３）通过直线且与平面垂直的平面； （４）通过直线向三坐标面所引的三