几只袜子凑一双-建中数学科.doc

幾隻襪子湊一雙？ 生活中超級有趣的12個數學謎題 一年九班7號 林秉民 很多科普書籍、科學刊物都寫說數學是美的、是藝術性的，然而到底為什麼是如此，卻少有舉出大量範例的書籍。而這本書的作者秉持著「啊、阿哈！、哈哈」的原則，舉出了十二個方向來說明數學的優雅。而讓我印象深刻的是在統計、摺紙、迴文以及魔術方陣的四個部份。 在這個世界上，我們常常會利用直覺來做判斷，但是有時候就是會感到直覺和事實相反。這種狀況常常是數學在暗中攪局，而大部分的人卻以為只是運氣不好猜錯，或者是被唬弄。事實上，只要弄清楚背後運作的道理，就會恍然大悟。 數 出現機率 1 30.1% 2 17.6% 3 12.4% 4 9.7% 5 7.9% 6 6.6% 7 5.8% 8 5.1% 9 4.6% 像是「報紙統計學」就是班佛定律而造成的。一般來說，在生活中出現的數據，首位數會有超過一半的機會會是落在1、2、3上面(如右表)。這個定律是由一位物理學家提出，不過傳說在1881年就有一位天文學家發現對數表中以1為首的數字那幾頁特別的破爛，但當時沒有繼續研究。而各數字起首的機率由這個式子代表： 這個式子表示b進位制之下()，以n為起首的數字出現的機率為P(n)。而這個方法可以用到任何的位數的機率，像是10進位制之下，123為首的數字出現機率為： 0.36% 而利用班佛定理也能求出其他位數的數字出現機率，像是5在第二位出現的機率是： 如此以來就可以求出每個位數的數字分布，甚至可以拿來作為檢驗有沒有做偽帳的工具。在2009年，班佛定律甚至揭穿了伊朗總統大選作票的內幕。 摺紙則是一門流傳千年的古老技藝，不過如果加上一點數學，就會有更多的變化。理論上將一張A4紙摺疊20幾次，厚度就能夠到達月球了，不過現實中要實現可能很困難，因為紙張本身的厚度只允許我們最多折到8次。而書中寫的高中生折疊了12次，並提出了下列的式子： 這代表摺疊n次厚度為t的紙所需要的紙張長度為L。如果把紙持續的折下去，很可能就會變成一個碎形。碎形就是將形狀重複同樣模式一直進行下去，而常常會產生許多美麗的圖案，像是著名的科赫曲線(又稱科赫雪花)以及謝爾賓斯基三角形都是很有名的碎形。如果將一張紙帶旋轉半圈再黏合起來，就會行成一個墨比烏斯帶。墨比烏斯帶和一種稱為克萊因瓶的結構類似。克萊因瓶是一個沒有裡外之分的容器，也就是和墨比烏斯帶一樣只有一個面，它可以用墨比烏斯帶構成，而且在拓樸學的意義是相同的。墨比烏斯帶的獨特造型常常用在藝術或是動漫畫中，也讓數學和藝術有了結合。 《題金山寺迴文本》潮隨暗浪雪山傾，遠浦漁舟釣月明。橋對寺門松徑小，檻當泉眼石波清。迢迢綠樹江天曉，靄靄紅霞晚日晴。遙望四邊雲接水，雪峰千點數鷗輕。輕鷗數點千峰雪，水接雲邊四望遙。晴日晚霞紅靄靄，曉天江樹綠迢迢。清波石眼泉當檻，小徑松門寺對橋。明月釣舟漁浦遠，傾山雪浪暗隨潮。《題金山寺迴文本》879, 1997, 7059 和 9999 1 4 2 7 5 3 8 6 9 書中有提到魔術方陣，也就是幻方。古今中外幻方都是很神秘的東西，在古代中國，「洛書」可以應用在命理、中醫上面，可見它的特性是讓很多人感到著迷的。以前在書上看過一種快速做出幻方的方式： 1 4 9 2 7 3 5 7 3 8 1 6 9 首先，先把數字按照圖一的方式寫，看起來像一個轉45度的正方形。然後在大正方形中間畫出n×n的正方形，也就是幻方的階數。最後，把多出來的數字移到「對面」就大功告成了！這種方法只能用在奇數的幻方，而偶數的就要用其他方式才求得出來。四階幻方不計旋轉、鏡射就有880種組合，而五階的更是高達一千三百萬種組合，可見幻方是非常多變的。 7 12 1 14 2 13 8 11 16 3 10 5 9 6 15 4 A B C D E F G H I J K L M N O P A D H E B C G F N O K J M P L I 另外，幻方又有一種型態叫做「魔鬼幻方」，看起來和一般的幻方沒有兩樣，但是它們可是很特別的！像圖二這個幻方就是其中一種，這種幻方有上下、左右「 相通」的性質，比如說可以將7,12,1,14這一行移到最下面一行，或是14,11,5,4移到最左邊，幻方還是成立。因此，這種幻方總共有5種變化方式：(1)鏡射(2)旋轉(3)上下移動(4)左右移動(5)還有像圖三特別的方式移動。一個魔鬼幻方全部的變化總共有384種，也怪不得叫做魔鬼幻方！ 數學並不是一個死氣沉沉的學說，而是很有藝術性的，連畫家都知道要如何運用幻方來表示年份，代表數學也可以融入到我們的生活裡頭。這本書提到了幾個概念，我覺得很