数学手册第2章初等几何图形的计算与作图1.docVIP

第二章 初等几何图形的计算与作图 几何图形是从现实世界中抽象出来的，所以，几何图形的理论、计算与作图广泛应用与人们的社会实践中. 本章重点介绍两类常用的几何图形：一是平面图形，如三角形、四边形、正多边形以及与圆有关的各种图形；另一是空间立体图形，如正方体、长方体、球体、锥体、圆柱体以及各种正多面体.这里较详细地收集了它们的面积、体积、侧面积、表面积、重心和转动惯量等计算公式. 另外，还介绍了一些图形（如正多边形）的作图方法，对于生产实践中常用的椭圆作图法和圆弧放样法也作了简要的说明.同时，明确指出了在百余年前已经严格证明了的所谓“几何三大问题”不能用尺规作图. §1 三角形与四边形 三角形各元素的计算 1. 三角形各元素 图 2.1 图 2.2 a,b,c为三角形三边 R为外接圆半径 A,B,C为三个角 r为内切圆半径 AD为a边上的高 H为垂心（三条高的交点） AF为A角的平分线 G为重心（三条中线的交点） AE为a边上的中线 为内心（三条角平分线的交点） 为半周长 为外心（三条垂直平分线的交点） S为的面积 2. 三角形各元素计算公式 [高] [中线] [角分线] [面积] [外接圆半径] [内切圆半径] 三角形和四边形的面积、几何重心、转动惯量计算公式 图形面积S、几何重心G与转动惯量*J长度 L=a 重心 GA=GB= 转动惯量 转轴平行于细杆，到细杆距离 为h(图(a)) 转轴通过细杆重心G,且与细杆 垂直(图(b)) 转轴通过细杆的一个端点,且与细 杆垂直(图(c ))  表中m为物体的质量，物体都为匀质.一般物体的转动惯量计算公式见第六章， §3，五. 图形面积S、几何重心G与转动惯量J[任意三角形] a,b,c为三边,为a边上的高 [等腰三角形] b为两腰,a为底边,为a边上高重心 转动惯量 (a)转轴通过重心G,且与a边平行 (图(a)) (b)转轴与三角形一边a重合(图(b)) (c)转轴通过三角形一顶点A,且平行???a边(图(c )) 重心 转动惯量 转轴与底边上的高重合 当a=b时  图形面积S、几何重心G与转动惯量J a,b为邻边,d为对角线, 为对角线的夹角 a为边长,为顶角,为两对角线面积 重心 G在对角线的交点上,即 转动惯量 (a)转轴通过矩形中心,且垂直于矩形所在平面(图(a)) (b)转轴通过矩形中心,且与矩形的b边平行(图(b)) (c)转轴与矩形的b边重合(图(c)) 面积 重心G在对角线交点上,即 转动惯量 (a)转轴与对角线重合(图(a)) (b)转轴通过重心G且垂直于图形所在平面(图(b))  图形面积S、几何重心G与转动惯量J a,b为邻边,h为对边距,为顶角,为两对角线,为两对角线夹角 a,b为上下底,h为高,l为两腰中点连线 a,b,c,d为四边长,为两对角线,为两对角线夹角面积 重心 G在对角线交点上 面积 重心 转动惯量 转轴通过重心,且平行于上下底 (图(a)) 当a=b时(平行四边形) 面积 或