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第37卷 第6期 应 用 数 学 学 报 Vo1．37 No．6 2014年 l1月 ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA Nov．，2014 具有避难所的Lotka-Volterra 竞争系统捕获分析 陈婉琳 陈凤德 t 王海娜 林玉花 (福州大学数学与计算机科学学院，福州350108) (E-mail：fdchen@fzu．edu．CYI) 摘 要 研究了某一种群具有避难所的 Lotka-Volterra竞争系统的捕获模型，通过计算雅克比 矩阵的特征值以及构造适当的 Lyapunov函数给出了保证系统正平衡点的局部稳定性和全局稳 定性的充分性条件，我们的结果表明足够大的避难所可以确保两种群共存．文中考虑对两种群 分别进行捕获，对于具有避难所的种群，捕获只能在避难所外进行．之后，我们分析了捕获对种 群平衡密度的影响，发现在适当的限制下，捕捞努力量的变化对其中一个种群的平衡密度不产 生影响．其后，获得了生物经济平衡点的存在性，并考虑了可对避难所内的种群进行捕捞的系 统和不能对避难所内的种群进行捕捞的系统，分析和比较了两种隋况下避难所对生物经济平衡 点所产生的不同影响．最后，利用 Pontryagin最大值原理得到了达到最优捕获的最优平衡解． 关键词 Lotka-Volterra竞争系统；避难所；全局渐近稳定；最优捕获 MR(2000)主题分类 34C25；92D25；34D20；34D40 中图分类 O175．14 1 引言 传统的 Lotka-Volterra竞争模型已经被广泛的研究，学者们得到了系统的持久性、 绝灭性及全局吸引性 [1-41．张玉娟，刘会民等学者 【 1对竞争系统加入捕获项，获得了 最优捕获的最优条件，并对无捕获的竞争系统与有捕获的竞争系统进行了比较，发现加 上捕获以后可捕系数对系统起决定性作用； Na Zhang等学者 (0 J研究了具有捕获项的 Leslie—Gower捕食一食饵模型，详细分析了捕获的作用，发现在某种条件下，捕获对食 饵的平衡密度不产生影响；Tapan Kar等学者[ ]对具有毒素的两种群的竞争模型进行 捕获分析，详细的讨论了模型的动力学行为．另一方面，学者们的研究表明，随着人类 本文 2013年 1月 13日收到．2013年 6月3日收到修改稿． 国家自然科学基金 ， 福建省自然科学基金 (2011J01007) 和福建省科技创新平台计划项目 (2009J1007)资助项目． 11l8 应 用 数 学 学 报 37卷 社会的发展，人类对自然界的影响越来越大，很多野生动物由于没有足够的食物和栖息 地而走向灭绝．王小明等 Is】在对贺兰山偶蹄类动物的保护现状进行研究时，发现对这 些偶蹄类种群的最大威胁来自于非法狩猎，人为干扰和家畜数量；杨维康等 【0】和徐文 轩等 [10]对濒危物种鹅喉羚的研究表明冬季鹅喉羚经受严重的放牧干扰，采食地呈现为 生存而被迫选择局部次适宜区域栖息的特征；任文华等 [1]的研究表明人类的人为捕杀 和森林采伐，放牧和采笋等是影响大熊猫生存的关键性因素．上述学者们的研究表明人 类活动影响野生动物生存主要是两个方面：(1)放牧行为，家畜和野生动物构成对有限 资源的竞争种群；(2)人类的捕猎行为．同时，为了更好的保护这些野生动物，我国已 经建立了大量的自然保护区，这些保护区对濒危物种提供有效的避难所，数学模型角度 对自然保护区的作用进行深入研究是很有实际意义的，据笔者所知，尚未有学者同时考 虑具有避难所和捕获的竞争模型．本文拟建立能描述上述现象的数学模型，并对这一模 型进行数学上的探讨． 对于两种群的 Lotka—Volterra竞争模型，假设第一个种群是濒危物种，人类建立了 一 定的自然保护区，为其提供避难所，并对两种群分别进行捕获，为了更好的研究避难 所的作用，我们假设对于第一个种群的捕获只能在避难所外进行．也就是说，避难所将 种群分为两个部分，mx 数量的x 种群躲进避难所， (1一m) 数量的X 种群与Xz 种群竞争， (1一m) 数量的 X 种群被捕获，其中0?Tt1．建立的模型如下： dXl (6 m z(1一 (1一m胁 ， (1_1) = z(6 _02 (1一咖 z z) 这里X ， z分别代表两种群在t时刻的种群密度，b 0，i=1，2分别表示X1， 2种群的 内禀增长率，bi／a i0，i=1，2分别表示X1，X2种群的环境容纳量，q1(1一m)0，q20 分别表示 X ，X 种群的可捕系数， Ei 0，i=1，2分别表示 X ，X2种群的捕捞努力 量．为了避免过度捕捞，我们假设 0q1(1一m) 1b1，0q2E2b2．此外，根据 X1，X2的生物学意义，仅在区域 R