自动控制 清华大学啃挛件 - 第4章.ppt

第4章 根轨迹分析法; 闭环系统的稳定性及性能主要由闭环极点（特征方程根）决定的。一个较完善的闭环控制系统其特征方程一般为高阶，直接用时域法求解困难。;4.1 根轨迹的基本概念 4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3 控制系统根轨迹的绘制 4.4 控制系统的根轨迹分析;1948年伊万斯提出求解闭环特征方程的根的图解方法——根轨迹法。 考虑到开环零极点更易获取，在开环零、极点分布已知的情况下，可绘制闭环极点随系统参数变化（如放大系数）而在s平面上移动的轨迹（根轨迹）。 用途：① 对系统的性能进行分析； ② 确定系统应有的结构、参数； ③ 进行设计和综合。;4．1 根轨迹的基本概念 ;一、根轨迹图 1.定义： 根平面：在一个复平面（s平面）上标出开环零、极点，并根据此描述闭环极点的性质，这个复平面就称为根平面。 根轨迹：指系统开环传递函数中某一参数（一般为Kg，根轨迹增益）变化时，闭环特征根在根平面上所走过的轨迹。;2.用解析法绘制根轨迹（实例） 例4-1：;开环有两个极点： p1= 0， p2=－1 开环没有零点。 ;（2）当0＜Kg＜0.25时，s1、s2均为负实数，且位于负实轴的（－1，0） 一段上。;（1）根轨迹增益Kg从0→∞时，根轨迹均在s平面左半部，在所有的Kg值下系统都是稳定的。 （2）当0Kg 0.25时，闭环特征根为实根，系统呈过阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。;（3）当Kg=0.25时，闭环特征根为相同负实根，系统处于临界阻尼状态，其阶跃响应为非周期过程。 （4）当Kg0.25时，闭环特征根为共轭复根，系统呈欠阻尼状态，其阶跃响应为衰减的振荡过程。 （5）有一个为0的开环极点，系统为Ⅰ型系统，其阶跃作用下的稳态误差ess为零。; 由上述分析过程可知，系统的根轨迹分析的意义在于：由较易获取的开环零极点分布分析闭环极点的性质，从而，对系统的动态性能和稳态性能进行分析。 但是，试探法不是绘制根轨迹的最合适方法，而且也太费时间。对于高阶系统，用这种解析的方法绘制出系统的根轨迹图是很麻烦的。实际上，闭环系统的特征根的轨迹都是根据开环传递函数与闭环特征根的关系，以及已知的开环极点和零点在根平面上的分布，按照一定的规则用图解的方法绘制出来的。 ;二、根轨迹方程 绘制根轨迹的实质，在于由开环零极点在s平面寻找闭环特征根的位置。;三、根轨迹的幅值条件方程和相角条件方程; 相角条件方程和Kg无关，s平面上任意一点，只要满足相角条件方程，则必定同时满足幅值条件，该点必定在根轨迹上，即对应不同的Kg时的闭环极点，相角条件是决定闭环系统根轨迹的充分必要条件。（实、虚轴选用相同的比例尺刻度）;四、幅值条件和相角条件应用 ;解： ;2. 用幅值条件确定Kg的值;小结： 相角条件 ? 判断是否闭环极点（根） 幅值条件 ? 确定对应的根轨迹增益 图解法：注意坐标、比例 但是控制系统的根轨迹图不能遍历s平面上所有的点来绘制。因为在满足根轨迹条件方程的基础上，根轨迹的图是有一些规律的。依据绘制轨迹图的一些基本法则，就可以绘制出控制系统的根轨迹草图。;4．2 绘制根轨迹的基本规则 ;是Kg或其它参数的连续函数。 当Kg从0→+∞连续变化时，闭环极点连续变化，即根轨迹是连续变化的曲线或直线。;三、根轨迹的分支数 开环传递函数为n阶，故开环极点和闭环极点数目都为n个，当Kg从0→+∞变化时，n个根在s平面上连续形成n条根轨迹。 一条根轨迹对应一个闭环极点随Kg的连续变化轨迹。 根轨迹的分支数=系统的阶数n;四、 根轨迹的起点和终点;∴另外n－m条根轨迹终止于∞处（±∞，相角可为任意方向）。;五、根轨迹的渐近线;例：已知控制系统的开环传递函数如下，确定s平面上根轨迹的渐近线方向。;-2;六、实轴上的根轨迹;③位于s1左边的实数零、极点： 、 向量引起的相角为0°;-2;七、根轨迹的分离点和会合点;2.规律： ① 若实轴上两相邻开环极点之间存在根轨迹，之间必有分离点； ② 若实轴上相邻开环零点（一个可视为无穷远）之间存在根轨迹，之间必有会合点； ③ 若实轴上开环零点与极点之间存在根轨迹，则其间可能既有分离点也有会合点，也可能都没有。;3.求分离角（会合角）;4. 分离点的求取 ① 重根法 特征方程：A(s)=0 具有重根，则：;② 极值法;例：已知控制系统的开环传递函数如下，试求根轨迹在实轴上的分离点。;判断：开