概率论-1-05,6.ppt

一、条件概率 二、乘法定理 三、全概率公式与贝叶斯公式 四、小结 第五节　条件概率 将一枚硬币抛掷两次 ,观察其出现正反两面的情况,设事件 A为 “至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”. 现在来求已知事件A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率. 分析 事件A 已经发生的条件下事件B 发生的概率,记为 1. 引例 一、条件概率 同理可得 为事件 B 发生的条件下事件 A 发生的条件概率. 2. 定义 3. 性质 二、 乘法定理 例1 一盒子装有4 只产品, 其中有3 只一等品、1只二等品. 从中取产品两次, 每次任取一只, 作不放回抽样. 设事件A为“第一次取到的是一等品” 、事件B 为“第二次取到的是一等品”．试求条件概率 P(B|A). 解 由条件概率的公式得 例2 某种动物由出生算起活20岁以上的概率为 0.8, 活到25岁以上的概率为0.4, 如果现在有一个 20岁的这种动物, 问它能活到25岁以上的概率是 多少? 设 A 表示“ 能活 20 岁以上 ” 的事件， B 表示 “ 能活 25 岁以上”的事件, 则有 解 例3 五个阄, 其中两个阄内写着“有” 字， 三个阄内不写字 ，五人依次抓取, 问各人抓到“有”字阄的概率是否相同? 解 则有 抓阄是否与次序有关? 依此类推 故抓阄与次序无关. 摸球试验 解 例4 此模型被波利亚用来作为描述传染病的数学模型. 例5 设某光学仪器厂制造的透镜, 第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破, 第二次落下打破的概率为7/10 , 若前两次落下未打破, 第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率. 解 以B 表示事件“透镜落下三次而未打破”. 1. 样本空间的划分 三、全概率公式与贝叶斯公式 2. 全概率公式 全概率公式 图示 证明 化整为零 各个击破 说明 全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题,分解为若干个简单事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最终结果. 例6 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30% ，二厂生产的占 50% ，三厂生产的占 20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2% ， 1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少? 设事件 A 为“任取一件为次品”, 解 由全概率公式得 30% 20% 50% 2% 1% 1% 称此为贝叶斯公式. 3. 贝叶斯公式 证明 例7 解 (1) 由全概率公式得 (2) 由贝叶斯公式得 解 例8 由贝叶斯公式得所求概率为 上题中概率 0.95 是由以往的数据分析得到的, 叫 做先验概率. 而在得到信息之后再重新加以修正的概率 0.97 叫做后验概率. 先验概率与后验概率 解 例9 由贝叶斯公式得所求概率为 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人 患有癌症. 1.条件概率 全概率公式 贝叶斯公式 四、小结 乘法定理 作业：p26 13, 16，21 ，22，25 一、事件的相互独立性 二、几个重要定理 三、例题讲解 四、小结 第六节 独立性 一、事件的相互独立性 则有 1.引例 事件 A 与 事件 B 相互独立,是指事件 A 的发生与事件 B 发生的概率无关. 说明 2.定义 两事件相互独立 两事件互斥 例如 由此可见两事件相互独立，但两事件不互斥. 两事件相互独立与两事件互斥的关系. 请同学们思考 由此可见两事件互斥但不独立. 3.三事件两两相互独立的概念 注意 三个事件相互独立 三个事件两两相互独立 4.三事件相互独立的概念 n 个事件相互独立 n个事件两两相互独立 推广 证明 二、几个重要定理 证明 又因为 A、B 相互独立, 所以有 两个结论 解 事件 B 为“击落飞机”, 三、例题讲解 例2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率. 解 A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 , 因而,由全概率公式得飞机被击落的概率为 伯恩斯坦反例 例3 一个均匀的正四面体， 其第一面染成红色， 第二面染成白色 ， 第三面染成黑色，而第四面同 时染上红、白、黑三种颜色.现以 A ， B，C 分别 记投一次四面体出现红、白、黑颜色朝下的事件， 问 A，B，C是否相互独立? 解 由于在四面体中红、 白、黑分别出现两面， 因此 又由题意知 故有 因此 A，B，C 不相互独立. 则三事件 A, B, C 两两独立.