高一 不等式的性质及应用.docVIP

第  PAGE 13 页 共  NUMPAGES 13 页 2016春高一第11讲 不等式的性质及应用 教师版 一、知识梳理 1.两个实数的大小比较规则： （1）； （2）； （3） 2.不等式的基本性质 （1）对称性: （2）传递性: （3）可加性：； （4）可乘性：； （5）倒数性质： （6）可乘方： （7）可开方： 3.不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法. 其中比较法（作差、作商）是最基本的方法. 4.存在性与任意性问题 （1）恒成立的转化：  = 1 \* GB3 ①恒成立；恒成立；  = 2 \* GB3 ②不等式在区间上恒成立在区间上函数和图象在函数图象上方在区间上函数恒成立；  = 3 \* GB3 ③若不等式在区间上恒成立在区间上函数和图象在函数图象下方在区间上函数恒成立. （2）存在性问题的转化：  = 1 \* GB3 ①使得函数在上的值域与函数在上的值域的交集不空，即；  = 2 \* GB3 ②设函数、，存在，存在，使得 ；  = 3 \* GB3 ③设函数、，存在，存在，使得 . （3）存在性+任意性问题的转化：  = 1 \* GB3 ①对使得函数在上的值域是函数在上的值域的子集，即；  = 2 \* GB3 ②设函数、，对任意的，存在，使得 ；  = 3 \* GB3 ③设函数、，对任意的，存在，使得 . 【名师点睛】 1.在学习不等式的性质时，要特别注意下面几点 (1)不等式的性质是解、证不等式的基础，对任意两实数有，，，这是比较两数(式)大小的理论根据，也是学习不等式的基石． (2)一定要在理解的基础上记准、记熟不等式的性质，并注意在解题中灵活、准确地加以应用． (3)不等式的传递性：，这是放缩法的依据，在运用传递性时，要注意不等式的方向，否则易产生这样的错误：为证明，选择中间量，在证出后，就误认为能得到. (4)同向不等式可相加，但不能相减，即，但不能得出 2. 理解不等式的思想和方法 (1)作差法是证明不等式的最基本也是很重要的方法，应引起高度注意，要注意强化． (2)加强化归意识，把比较大小问题转化为实数的运算． (3)通过复习要强化不等式“运算”的条件．如在什么条件下才能推出. (4)强化函数的性质在大小比较中的重要作用，加强知识间的联系． 【高考链接】 B 1.（2015山东）若函数是奇函数，则使成立的的取值范围为(　 　). A. B. C. D. 解析　∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即eq \f(2－x＋1,2－x－a)＝－eq \f(2x＋1,2x－a)，整理得(1－a)(2x＋1)＝0， ∴a＝1，∴f(x)＞3即为eq \f(2x＋1,2x－1)＞3，化简得(2x－2)(2x－1)＜0，∴1＜2x＜2，∴0＜x＜1. 答案C. B 2.（2014重庆）若不等 式对任意实数恒成立，则实数的取值范__________. B 3.（2009天津）,若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则（ ）. B. C. D. 二、典型例题 题型一、比较大小 （去）A 【例1】已知是实数，试比较与的大小． 解：方法一(作差法)∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝eq \f(1,2)[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0， 当且仅当a＝b＝c时取等号，∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 方法二　(函数法) 记t＝a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝a2－(b＋c)a＋b2＋c2－bc， ∵Δ＝(b＋c)2－4(b2＋c2－bc)＝－3b2－3c2＋6bc＝－3(b－c)2≤0， ∴t≥0对a∈R恒成立，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. （去）B【拓展】 比较与（且）的大小. 剖析：由于要比较的两个数都是对数，我们联系到对数的性质，以及对数函数的单调性. 解：（1+logx3）－2logx2=logx. （1）当或即0＜x＜1或x＞时，有logx＞0，1+logx3＞2logx2. （2）当①或②时，logx＜0. 解①得无解，解②得1＜x＜， 即当1＜x＜时，有logx＜0，1+l