1981年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题及答案[名师原创].docVIP

1981年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文科） 一．（本题满分6分） 设A表示有理数的集合，B表示无理数的集合，即设A={有理数}，B={无理数}，试写出：1.A∪B, 2.A∩B. 解：1.A∪B={实数},2.A∩B=Φ 二．（本题满分8分） 化简： 解：原式= 三．（本题满分6分） 在A、B、C、D四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果 解：1.选举种数P42=12（种）所有可能的选举结果： AB、AC、AD、BC、BD、CD、 BA、CA、DA、CB、DB、DC 2.选举种数C43=4（种）所有可能的选举结果： ABC、ABD、ACD、BCD 四．（本题满分10分） 求函数f(x)=sinx+cosx在区间（-π，π）上的最大值 解： 五．（本题满分10分） 写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明 答： B a D c E A C b 证：引AD垂直BC于D;引BE垂直CA的延长线于E 设△ABC的面积为S，则 将上式除以得： 六．（本题满10分） 已知正方形ABCD的相对顶点A（0，-1）和C（2，5），求顶点B和D的坐标 解：设AC中点为M（x,y）,则有 又设AC斜率为k，则k=3因此得BD的斜率为 故有直线BD的方程： 又以M点为圆心，|MA|为半径的圆的方程为 解方程（1）、（2）得B、D的坐标为（4，1）及（-2，3） （注：用复数法解亦可） 七．（本题满分17分） 设1980年底我国人口以10亿计算 （1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？ （2）要使2000年底我国人口不超过12亿，那么每年比上年平均递增率最高是多少？ 下列对数值可供选用： lg1.0087=0.00377 lg1.0092=0.00396 lg1.0096=0.00417 lg1.0200=0.00860 lg1.2000=0.07918 lg1.3098=0.11720 lg1.4568=0.16340 lg1.4859=0.17200 lg1.5157=0.18060 解：1.所求人口数x（亿）是等比数列 10,10×1.02,10×（1.02）2，……的第21项，即 x=10×（1.02）20, 两边取对数，得lgx=1+20lg1.02=1.17200, ∴x=14.859（亿) 2．设人口每年比上年平均递增率最高是y%，按题意得 10×（1+y%)20≤12， （1+y%)20≤1.2. 根据对数函数的单调上升性，对上列不等式两边取对数得 20lg(1+y%)≤lg1.2. 即 lg(1+y%)≤0.00396. ∴1+y%≤1.0092,y%≤0.0092. 答：略 八．（本题满分15分） ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱，过A、C、B1三点作一截面，求证： 截面ACB1⊥对角面DBB1D1 D1 C1 A1 B1 D C O A B 证：设AC、BD交于O点 作截面ACB1、对角面BB1D1D以及它们的交线OB1的图形由于AC1是正四棱柱，所以ABCD是正方形，故AC⊥BD;又BB1⊥底面ABCD，故BB1⊥AC∴AC⊥对角面BB1D1D 已知AC在截面ACB1内，故有 截面ACB1⊥对角面BB1D1D 九．（本题满分18分） 1．设抛物线y2=4x截直线y=2x+k所得的弦长为，求k的值 2．以本题（1）得到的弦为底边，以x轴上的点P为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P的坐标 Y y=2x+k P2 y2=4x