浅谈高考数学应用问题.docVIP

PAGE  PAGE 6 浅谈高考数学应用问题 摘要：高考应用问题具有灵活性、创新性、新颖性、开放性等特点，并以“能力立意、创新为主”考查学生的创新能力以及解决问题的能力。解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。 关键词: 数学建模 高考应用题 分析问题 解决问题 数学应用题意识与应用能力是数学素质的主要组成部分，在举国上下全面推进素质教育的热潮中。数学应用题的教学越来越受到青睐，但从屡年来的高考中数学应用题的结果来看，学生的数学建模能力较差。而应用题的解决主要是数学建模，要解决学生中出现的问题，就必须对高考应用题进行思考和探研。为此笔者从最近??年的高考应用题入手，谈谈高考应用题研究的体会。 数学应用性问题是历年高考命题的主要题型之一，对应用题，考生的弱点主要表现在将实际问题转化成数学问题的能力上。实际问题转化为数学问题，关键是提高阅读能力即数学审题能力，审出函数、方程、不等式、等式，要求我们读懂材料，辨析文字叙述所反应的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，抽象其中的数量关系，将文字语言叙述转译成数学式符号语言，建立对应的数学模型解答。可以说，解答一个应用题重点要过三关：一是事理关，即读懂题意，需要一定的阅读理解能力；二是文理关，即把文字语言转化为数学的符号语言；三是数理关，即构建相应的数学模型，构建之后还需要扎实的基础知识和较强的数理能力。 求解应用题的一般步骤是（四步法）： 1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系； 2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题； 3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解； 4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证。 本文在此就近几年的高考应用题进行分析。 [例题讲解] 例1、 （2004年辽宁理工)甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲的资源，因此甲有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x(元)与年产量t(吨)满足函数关系。若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元(以下称s为赔付价格)， (1)将乙方的年利润w(元)表示为年产量t(吨)的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量； (2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.002t2(元)，在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？ (1)解法一：因为赔付价格为s元/吨，所以乙方的实际年利润为： 因为 时，w取得最大值， 所以乙方取得最大年利润的年产量 解法二：因为赔付价格s/吨，所以乙方的实际利润为： 由 当tt0时，w′0；当tt0时w′0， 所以t=t0时，w取得最大值， 因此乙方取得最大年利润的年产量 (2)设甲方净收入为v元，则v=st-0.002t2，将代入上式， 得到甲方净收入v与赔付价格s之间的函数关系式 又 令v′=0，得s=20 当s20时，v′0；当s20时，v′0， 所以s=20时，v取得最大值， 因此甲方向乙方要求赔付价格s=20(元/吨)时，获得最大净收入。 例2、（2005年天津理工）某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为a ,tana=1/2试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角∠BPC最大（不计此人的身高） 解：如图所示，建立平面直角坐标系， 则A（200，0），B（0，220），C（0，300）， 直线l的方程为即 设点P的坐标为（x，y）， 则 由经过两点的直线的斜率公式 由直线PC到直线PB的角的公式得 要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式 当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为 由此实际问题知，所以tanBPC最大时，∠BPC最大，故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角∠BPC最大. 评注：本小题考查根据实际问题建立函数关系并应用解析几何和代数的方法解决实际问题的能力 例3.（2009年全国理工）某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。 （I）求从甲、乙两组