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一般变质量问题的动力学方程与解题方法 摘要：对变质量问题的动力学方程提出简单的引入方法，从而得出不同形式的动力学方程,解决不同的变质量运动问题。 关键词：变质量，动力学方程， 合外力 在普通物理及理论力学中的所谓变质量问题，是指与外界有物质交换而使其质量不断发生变化的物体，也正是由于其质量随时间变化而变化这一特点的出现，使学生感到困惑，加强这一内容，不仅能使学生加深对力学基本概念和基本规律的理解，而且可以培养学生分析问题和解决问题的能力。 1.变质量物体的动力学方程 在普通物理及理论力学的教学过程中，都会遇到有关变质量物体的运动问题，而这类问题的解决过程，则需要用到变质量物体的运动方程，现在我们将求出物体按一定规律变化（减少或增加）时的动力学方程，即变质量物体的动力学方程。 设一物质（主体）的质量在t时刻为m，它的速度是（c），同时有一微小质量△m以速度运动，并在t+△t时间间隔内与m相合并，合并以后的共同速度是+△。如果作用在主体m及微小质量△m上的合外力为，而内力和约束力恒有大小相等，方向相反，因而可以消去，则由质点的动量定理，可得 （m+△m）（+△）-（m+△m）=△t （1） m+△m+m△+△m△-m-△m=△t （2） △m（-）+m△+△m△=△t （3） 由于△m是一微小质量，△是一微小速度，则△m△是一二阶微小变量，即可略去，故而（3）式可以写成 △m（-）+m△=△t （4） 对（4）式两边同时除以△t，可得 （-）+m= （5） 在（5）式中，使△t→0，对其求极限可得 （-）+ m= （6） （-）+m= （7） 由于 =m+ （8） 则 m=- （9） 即（7）式可以写成 - + - = （10） 化简整理（10）式可得 - = （11） 综上，可得出变质量物体的动力学方程有（7）式和（11）式两种形式： 形式一： （-）+m= 形式二： - = 2.变质量物体运动方程的应用 在解决一般变质量问题的过程中，常常会遇到一些特殊的情况，这样，使??我们在解决变质量物体的运动问题中会变的简单一些。如 在上面的形式一，即（7）式中，若有=，则有 m= （12） 这与常质量物体的运动方程在形式上完全一样。 在上面形式二，即（11）式中，若有=0，则有 = （13） 此式与质量为定值的质点动量定理的表达形式完全相同，但需注意此处的m是可变的。 对于这些特殊情况，我们均可以通过（12）式和（13）式去解决，下面我们通过具体例子体会一下这两式的具体应用过程。 例1.长为L的均匀链条伸直的平放在水平光滑桌面上，其方向与桌边缘垂直，此时链条的一半从桌边下垂，起始时整个链条静止。求此链条的末端滑到桌子边缘时，链条的速度。 解：由于链条末端滑到桌子边缘时，此链条上各处的速度都是相同的，且方向都是竖直向下的，设链条的总质量为M，链条的线密度为λ，则有M=L，下垂部分设为，这显然是一个变质量问题，取下垂链条段作为主体，则主体质量m=，在下滑过程中并入段的质量dm=d。又由于微质量dm和主体彼此相连，故在并入瞬间微质量dm的速度与主体的速度相同，因此该问题可用（12）式求解。合外力就是作用在运动物体段链条上的外力，即重力G=mg=g，于是由（12）式可得x段链条的运动方程为 L=M=g （14） = = d=d （15） 又由题意可知 =，=0; =L，= 于是有 (16) 整理化简得 = 故此链条的末端滑到桌子边缘时，链条的速度为。 当然，在本题的这种情况下，用机械能守恒定律和动能定理求解要简单的多，下面分别用这两种方法对该问题加以解决。 解法一：利用机械能守恒解决该问题 设该链