论小波变换.docVIP

论 小 波 通过一学期对小波变换的学习，对小波变换有了一定的了解，首先来说，小波变换是信号处理的一种方法。因此我们首先来概述信号以及信号处理的基本概念。从物理的角度来讲，信号就是承载某种或某种信息的物理量的变换历程，从数学的角度看，信号就是函数，就是某一变量随时间或频率或其他变量而变化的函数。在我们有了信号之后，接下来就是信号的分析与处理了，数字信号处理的频段域方法就是利用离散傅里叶变换将离散的时间信号序列转换到频域中去，得到信号的频谱。但傅里叶变换只适用于分析平稳信号，对非平稳信号无能为力。而小波变换是近年发展起来的一个崭新的数学工具，是一种时间尺度分析法，尺度与频率相对应，因此也是一种实频分析法。既适合分析平稳信号，也适合分析非平稳信号。 小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师J.Morlet在1984年首先提出的，通过物理的直观和信号处理的实际需要，根据经验建立了反演公式。小波最先在工程中被地球物理学家用来分析通过爆炸方法产生的人造地震数据，以便找油、探矿等，通过分析便可得到地表下的岩层“图像”。用地震法探矿的关键是对收集来的信息是否有适合的信号分析方法。傅里叶分析在此不是一个好方法。而另外一个方法，短时傅里叶变换会好一些。然而该方法还存在一些问题，由于时间间隔不可调，所以那些持续时间非常短的、频率很高的发生时刻难以检测到。小波在这个问题上就显示了它的优势，小波可以跟踪时间和频率信息。它可以“近看”前面提到的短时脉冲，或者“远眺”以检测长时慢变波。如今的小波分析是当前应用数学和工程学科中一个迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究，重要的数学形式化体系已经建立，理论基础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细化分析，解决了Fourier变换不能解决的许多困难问题。小波变换联系了应用数学、物理学、计算机科学、信号与信息处理、图像处理、地震勘探等多个学科。数学家认为，小波分析???一个新的数学分支，它是泛函分析、Fourier分析、样调分析、数值分析的完美结晶；信号和信息处理专家认为，小波分析是时间—尺度分析和多分辨分析的一种新技术，它在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、地震勘探、大气与海洋波分析等方面的研究都取得了有科学意义和应用价值的成果。 小波分析中最早最经典又最简单的小波是Haar小波。先总体来说一下Haar小波，1910年，Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基，即Haar正交基。Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成。优点：Haar小波变换具有最优的时（空）域分辨率。缺点：Haar小波基是非连续函数，因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。首先，小波分析中最重要的两个函数是尺度函数与小波函数，一般用希腊字母φ与ψ表示，它们分别称为父小波与母小波，由此可以产生一组用来分解和重构信号的函数族。小波面对的基本问题是：对一个受到高频噪声干扰的信号，寻找一个简单算法检测出高频噪声并把它们去掉。Haar小波解决问题的方法是：用一定密度的矩形波的组合逼近着个信号，然后分解，把高频部分与低频部分分开，再把高频部分去掉。具体来说，用Haar小波处理信号f(t)的去噪（或压缩）的方法一共分为四个步骤，令φ和ψ分别为Haar尺度和Haar小波函数。第一步：取样，若信号是连续的(模拟)，y=f(t),t表示时间，选择j=J,使得2j大于信号的Nyquist抽样率，实际应用中，由原信号持续时间决定的K的范围是有限的。例如，若信号持续时间为0≤t≤1，那么K的范围是0≤K≤2j-1.若信号已离散化，则本步就不需要了。令顶级的等于取样信号的第k项，2j等于取样速率。于是有f的顶级近似：第二步是分解。分解算法把分解为这里，，系数和由经如下的算法迭代得到 这里的H和L是高通和低通滤波器。当j=J时，和是由在第一步中得到的取样信号确定的。于是，当j=J-1时，则和由确定。J可如此一直减少下去，直到到达了满足要求的级别或者没有系数可操作了。除非另外说明，讨论的分解算法均一直到达j=0.第三步：处理。信号分解后，有以下形式：通过修改小波系数，可到达信号滤波目的。详细过程如何？需要具体问题具体讨论。若要过滤所有的高频信息，那么所有超过某个阀值的应设为0，结果可能是与某个k对应的信号区段的噪声被滤除了。若是为了压缩数据，那么低于某个阀值的将被赋0. 不管何目的，处理过程就是修改第四步：重构。现在的目标是获得修改后的信号式的形式，只不过被修改了，即重构它为这里j=1,,J.当j=1时，由和得到。当j=2时，由和得到，如此这般，可一直进行下去。K的范围是由信号的持续时间