支持向量机(五)SMO算法.docVIP

 HYPERLINK /jerrylead/archive/2011/03/18/1988419.html 支持向量机（五）SMO算法 11 SMO优化算法（Sequential minimal optimization） SMO算法由Microsoft Research的John C. Platt在1998年提出，并成为最快的二次规划优化算法，特别针对线性SVM和数据稀疏时性能更优。关于SMO最好的资料就是他本人写的《Sequential Minimal Optimization A Fast Algorithm for Training Support Vector Machines》了。 我拜读了一下，下面先说讲义上对此方法的总结。 首先回到我们前面一直悬而未解的问题，对偶函数最后的优化问题： 要解决的是在参数上求最大值W的问题，至于和都是已知数。C由我们预先设定，也是已知数。 按照坐标上升的思路，我们首先固定除以外的所有参数，然后在上求极值。等一下，这个思路有问题，因为如果固定以外的所有参数，那么将不再是变量（可以由其他值推出），因为问题中规定了 因此，我们需要一次选取两个参数做优化，比如和，此时可以由和其他参数表示出来。这样回带到W中，W就只是关于的函数了，可解。 这样，SMO的主要步骤如下： 意思是，第一步选取一对和，选取方法使用启发式方法（后面讲）。第二步，固定除和之外的其他参数，确定W极值条件下的，由表示。 SMO之所以高效就是因为在固定其他参数后，对一个参数优化过程很高效。 下面讨论具体方法： 假设我们选取了初始值满足了问题中的约束条件。接下来，我们固定，这样W就是和的函数。并且和满足条件： 由于都是已知固定值，因此为了方面，可将等式右边标记成实数值。 当和异号时，也就是一个为1，一个为-1时，他们可以表示成一条直线，斜率为1。如下图： 横轴是，纵轴是，和既要在矩形方框内，也要在直线上，因此 ， 同理，当和同号时， ， 然后我们打算将用表示： 然后反代入W中，得 展开后W可以表示成。其中a,b,c是固定值。这样，通过对W进行求导可以得到，然而要保证满足，我们使用表示求导求出来的，然而最后的，要根据下面情况得到： 这样得到后，我们可以得到的新值。 下面进入Platt的文章，来找到启发式有哪些信誉好的足球投注网站的方法和求b值的公式。 这边文章使用的符号表示有??不太一样，不过实质是一样的，先来熟悉一下文章中符号的表示。 文章中定义特征到结果的输出函数为 与我们之前的实质是一致的。 原始的优化问题为： 求导得到： 经过对偶后为： s.t. 这里与W函数是一样的，只是符号求反后，变成求最小值了。和是一样的，都表示第i个样本的输出结果（1或-1）。 经过加入松弛变量后，模型修改为： 由公式（7）代入（1）中可知， 这个过程和之前对偶过程一样。 重新整理我们要求的问题为： 与之对应的KKT条件为： 这个KKT条件说明，在两条间隔线外面的点，对应前面的系数为0，在两条间隔线里面的对应为C，在两条间隔线上的对应的系数在0和C之间。 将我们之前得到L和H重新拿过来： 之前我们将问题进行到这里，然后说将用表示后代入W中，这里将代入中，得 其中 这里的和代表某次迭代前的原始值，因此是常数，而和是变量，待求。公式（24）中的最后一项是常数。 由于和满足以下公式 因为的值是固定值，在迭代前后不会变。 那么用s表示，上式两边乘以时，变为： 其中 代入（24）中，得 这时候只有是变量了，求导 如果的二阶导数大于0（凹函数），那么一阶导数为0时，就是极小值了。 假设其二阶导数为0（一般成立），那么上式化简为： 将w和v代入后，继续化简推导，得（推导了六七行推出来了） 我们使用来表示： 通常情况下目标函数是正定的，也就是说，能够在直线约束方向上求得最小值，并且。 那么我们在（30）两边都除以可以得到 这里我们使用表示优化后的值，是迭代前的值，。 与之前提到的一样不是最终迭代后的值，需要进行约束： 那么 在特殊情况下，可能不为正，如果核函数K不满足Mercer定理，那么目标函数可能变得非正定，可能出现负值。即使K是有效的核函数，如果训练样本中出现相同的特征x，那么仍有可能为0。SMO算法在不为正值的情况下仍有效。为保证有效性，我们可以推导出就是的二阶导数，，没有极小值，最小值在边缘处取到（类比），时更是单调函数了，最小值也在边缘处取得，而的边缘就是L和H。这样将和分别代入中即可求得的最小值，相应的还是也可以知道了。具体计算公式如下： 至此，迭代关系式出了b的推导式以外，都已经推出。 b每一步都要更新，因为前面的KKT条件指出了和的关系，而和b