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改进的牛顿迭代法求解非线性方程 史思总 西南科技大学 摘要：将非线性方程线性化，以线性方程的解逐步逼近非线性方程的解，是牛顿迭代法的基本思想。牛顿法具有收敛快、稳定性好、精度高等优点，是目前求解非线性方程的有效方法之一。牛顿法每次迭代时都需要计算函数值和导数值，计算量较大，当导数值提供有困难时，牛顿法将不再适用于求解非线性方程组。针对这种情况，提出了一种改进牛顿法——弦截法。为避免求导，弦截法采用差商近似导数，以差商方式解决求导问题。实践证明，弦切法优于大部分迭代法，仅次于牛顿法。 关键词：牛顿法、弦截法、非线性方程、差商 一、牛顿法的迭代公式 设在其零点附近一阶连续可微，且，当充分接近时，由Taylor公式有： （1） 以方程 （2） 近似方程，其解 （3） 可作为方程的近似解，重复上述过程，得迭代公式 （4） 该方法称为牛顿迭代法。牛顿法是一种不动点迭代法，其迭代函数为 （5） 从几何上看，牛顿法是以曲线的切线与x轴的交点作为曲线与x轴的交点的近似。故牛顿法也是一种切线法。 二、牛顿法的改进——弦截法 为了避免牛顿法中计算导数，弦截法中采用差商代替导数。避免了某些情况下由于不能求取导数值而迭代失效。 2.1差商的定义 设有函数为一系列互不相等的点，称为关于的一阶差商（也称均差），记为，即 （6） 2.2弦截法 在牛顿迭代公式（3）中，用差商代替导数得到迭代公式 （7） 按式（7）计算方程的近似解称为弦截法。 图1 弦截法求根示意图 如图1所示，过曲线上两点，的直线为 （8） 它与x轴的交点为 （9） 从几何上看，弦截法是以曲线上两点的割线与x轴的交点作为曲线与x轴的交点的近似。弦截法是两步法，用弦截法求非线性方程的解，必须给出两个初始值，，通常取根所在区间的端点即可。一般情况下，弦截法仍然以为停步准则，也可以为停步准则。 三、举例说明 例1 求方程的根，精确到6为小数。 解：因为为有根区间。 （1）牛顿法解：取，用牛顿法公式： （10） 计算得： 迭代3次得到的结果有8位有效数字。 简单迭代法解：用简单迭代公式 （11） 原方程化解为等价方程，得出迭代格式 （12） 带入，计算得：，因为，所以即为方程满足要求的近似根，迭代次数为15次，8位有效数字。 弦截法解：取，用弦截法公式 （13） 计算得： ，计算结果表明，迭代5次所得近似解精确到8位有效数字，它的收敛速度虽低于牛顿法，但是简单比迭代法收敛快。 参考文献 李丽容.对牛顿迭代法的改进[J].中国水运（理论版）,2006，5（4）. 肖光强，方仕，余显志.对牛顿迭代法的一个改进[J].湖北名族学院学报,2008，12，4（26）. 吴淦洲.求解线性方程组的改进牛顿法[J].茂名学院学报,2009，6. 郑权.牛顿法的一点注记和改进[J].北方工业大学学报，2002，3. 马成业，黄世华.解非线性方程组的一个改进牛顿法[J].甘肃联合大学学报（自然科学版），2009，1. 夏林林，户晗蕾，吴开腾.非线性方程组数值方法的研究进展[J].内江师范学院学报，2013，5. 李菊，余佳丽，谭艳梅，曾德强.弦截法在非线性方程组的推广[J].保山学院学报，2012，5. 丁丽娟，程杞元.数值计算方法[M.北京：北京理工大学出版社. 吴新元.对牛顿迭代法的一个重要修改[J].应用数学和力学，1999，20（8）.