线性代数第5章节特征值和特征向量矩阵对角化.pptVIP

第五章 特征值和特征向量 矩阵的对角化;5.1 特征值与特征向量 相似矩阵 ;一、特征值和特征向量的概念;设n阶方阵A=(aij)的特征值为?1,?2,???,?n,则有;(1)?为A的特征值??为特征方程|?I?A|=0的根;求n阶方阵A的特征值与特征向量的步骤:;例1 求对角方阵?= 的特征值.;例2 求矩阵 的特征值和特征向量.;5I?A=;?I?A=;定理：若?是矩阵A的特征值,X是A的对应于?的特征向量,则 (1)k?是kA的特征值； (2)?m是Am的特征值(m是正整数); (3) ?是AT的特征值； (4)当A可逆时,??1是A?1的特征值,??1|A|是A*的特征值； (5)若f(x)是x的多项式,则f(?)是f(A)的特征值;??m是矩阵Am的特征值,且X是Am的对应于?m的特征向量.;(4)当A可逆时,;定理 设矩阵A,如果?,?是A的对应于两个不同特征值的特征向量,则?与?线性无关.;定理 如果?1,?2,???,?r是矩阵A的不???特征值,而?i1,?i2,???, 是A的对应于特征值?i (i=1,2,???,r)的线性无关的特征向量,则向量组?11,?12,???, ,?21,?22,???, ,???,?r1,?r2,???, 也线性无关. ;注:;定义 设A、B都是n阶方阵,如果存在可逆矩阵P,使得P?1AP=B,则称B是A的相似矩阵,或者说A与B相似,记为A~B.可逆矩阵P称为把A变成B的相似变换矩阵.;定理 若A与B相似,则 (1)A与B有相同的特征多项式; (2)A与B有相同的特征方程; (3)A与B有相同的特征值.;(4) 相似矩阵有相同的行列式.;（5）相似矩阵有相同的秩;分析:;P?1AP=?;注:;定理:n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A的每个特征值对应的特征向量线性无关的最大个数等于该特征值的重数.;(2)A未必能与?相似.; 求可逆矩阵P,使得A与对角矩阵相似的步骤:;例1 判断下列实矩阵能否化为对角阵?;(2);|?I?A|=;∵A有三个线性无关的特征向量;例2 设 ,判断A是否可以对角;?2=?3= ?1 :;(3);;5.3 实对称矩阵的对角化 ;共轭矩阵;aij全为实数,aij=aji,此时A称为实对称矩阵.;性质2 设A是实对称矩阵,则对应于A的不同特征值的特征向量必正交.;定理 设?是实对称矩阵A的k重特征值,那么对应于?的所有特征向量中,其极大线性无关组所包含的向量个数恰为k.;求正交矩阵的具体步骤为:;例1 设 ,求一正交矩阵T,使 T?1AT=?;将P2,P3正交化:;将e1,e2,e3构成正交矩阵: