线性代数同济大学版本3-3.pptVIP

§3 线性方程组的解;一、线性方程组的表达式;二、线性方程组的解的判定;定理：n 元线性方程组 Ax = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ．;证明：设 R(A) = r ，为叙述方便，不妨设 B = (A, b) 的行最 简形矩阵为 第一步：往证 R(A) R(A, b) 无解． 若 R(A) R(A, b) ，即 R(A, b) = R(A)＋1，则 dr+1 = 1 ． 于是 第 r +1 行对应矛盾方程 0 = 1，故原线性方程组无解．;;;第三步：往证 R(A) = R(A, b) n 无穷多解． 若 R(A) = R(A, b) n ， 对应的线性方程组为;令 xr+1, …, xn 作自由变量，则 ;例：求解非齐次线性方程组;备注：;;解（续）： 即得与原方程组同解的方程组 令 x3 做自由变量，则 方程组的通解可表示为 ． ;例：求解非齐次线性方程组;例：求解齐次线性方程组;例：设有线性方程组;解法1：对增广矩阵作初等行变换把它变为行阶梯形矩阵．;附注： 对含参数的矩阵作初等变换时，由于 l +1， l +3 等因式可能等于零，故不宜进行下列的变换： 如果作了这样的变换，则需对 l +1 = 0（或 l +3 = 0）的情况另作讨论． ;分析： 讨论方程组的解的情况，就是讨论参数 l 取何值时，r2 、r3 是非零行． 在 r2 、r3 中，有 5 处地方出现了l ，要使这 5 个元素等于零， l = 0，3，－3，1 ． 实际上没有必要对这 4 个可能取值逐一进行讨论，先从方程组有唯一解入手．;于是 当 l ≠ 0 且 l ≠－3 时，R(A) = R(B) = 3 ，有唯一解． 当 l = 0 时，R(A) = 1， R(B) = 2 ，无解． 当 l = －3 时，R(A) = R(B) = 2 ，有无限多解．;解法2：因为系数矩阵 A 是方阵，所以方程组有唯一解的充 分必要条件是 |A| ≠ 0 ．;当 l = 0 时， R(A) = 1， R(B) = 2 ，方程组无解．;定理：n 元线性方程组 AX = b 无解的充分必要条件是 R(A) R(A, b)； 有唯一解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) = n ； 有无限多解的充分必要条件是 R(A) = R(A, b) n ．;定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ．;设 R(A) = r ，A 的行最简形矩阵为 ，则 有 r 个非零行， 且 的后 m－r 行全是零． 再设 从而 ． ;定理：矩阵方程 AX = B 有解的充分必要条件是 R(A) = R(A, B) ．;非齐次线性方程组