第1章 线性空间.pptVIP

同济大学数学系 2009-3-22;1.1 线性空间的基本概念;线性空间的定义;*;*;例2 实数域 R上的全体 m×n 矩阵，对矩阵的加法 和数乘运算构成 R上的线性空间，记作 Rm×n;对于多项式的加法、数乘多项式构成线性空间。; ;例5 在区间[a, b]上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域R上的 线性空间，记作C[a, b]。;例6 正实数的全体 R+ ，在其中定义加法及乘数 运算为;有;所以 对所定义的运算构成线性空间．;线性空间的性质;定义: 设V 是一个线性空间，a1, a2, … an∈V 若 (1) a1, a2, … an 线性无关， (2) a∈V , a 可由a1, a2, … an 线性表示， a = x1a1+ x2a2+ … +xnan 则称a1, a2, … an 为V 的一组基， 称 x1, x2 , …, xn为a 在基a1, a2, … an 下的坐标， 称 n 为V 的维数，记作 dimV = n 。;*;*;*;*;*;*;*;定理: 设a1, a2…, ar (1≤r≤n)是 n 维线性空间V 中的r个线性无关的向量，则存在V 中n-r个向量ar+1, … an 使得a1, … ,ar , ar+1, … an 成为V 的基. ;基变换与坐标变换;的;*;*;定理: 设V 是线性空间，a1, a2, … an , b1, b2, … bn 是V 的两组基，P 是由基a1, a2, … an到b1, b2, … bn 的 过渡矩阵，则;*;*;*;*;*;例3. 设V 是数域F上的线性空间，;则;为W1与 W2 的和，记作 W1+ W2 ;定理: 设W1, W2 是线性空间V 的子空间，则W1+ W2 与;例4. 线性空间R3的子空间;例题 ;例题;定理(维数公式): 设V1, V2 是线性空间V 的子空间，则;例5 设V1, V2 是n维线性空间V 的子空间，若;子空间的直和;例1. 线性空间R3的子空间;定理：设V1, V2 是线性空间V 的子空间，则下列命题等价;讨论： 设;定理：设U 是线性空间V 的子空间，则存在V 的;1.3 线性空间的同构;同构的性质;1.4 线性变换;例1. 设T 为R2上的线性变换， T : R2→R2;例2. 设T 为R3上的线性变换， T : R3→R3;例3. 设T 为 上的线性变换， ;线性变换的性质：设T是V上的线性变换，则;线性变换的矩阵;A 称为T 在基 a1, a2, … ,an 下的矩阵.;线性变换的核与像;例1. 设 T 为 上的线性变换， ， 求 T 在基;解：;例2. 设 T 为R3上的变换，;例??已知 线性空间 定义映射 T： (1)证明T是V上的线性变换； (2)求V的一组基，使得T在这组基下的矩阵为对角阵。;不变子空间