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数学分析选论习题解答第一章实数理论把例改为关于下确界的相应命题并加以证明证设数集有下确界且试证存在数列存在严格递减数列证明如下据假设且现依次取相应地使得因由迫敛性易知为使上面得到的是严格递减的只要从起改取就能保证证明例的证设为非空有界数集试证现证明如下由假设显然也是非空有界数集因而它的下确界存在故对任何由此推知从而又有另一方面对任何有于是有同理又有由此推得综上证得结论成立设为有界数集且证明并举出等号不成立的例子证这里只证类似地可证设则应满足于是必有这说明是的一个下界由于亦为有界数集故其下确界存在
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《数学分析选论》习题解答
第 一 章 实 数 理 论
１．把§1.3例4改为关于下确界的相应命题，并加以证明．
证 设数集有下确界，且，试证：
存在数列；
存在严格递减数列．
证明如下：
据假设，；且．现依
次取相应地,使得
．
因，由迫敛性易知.
为使上面得到的是严格递减的，只要从起，改取
，
就能保证
． □
２．证明§1.3例６的（ⅱ）．
证 设为非空有界数集，，试证：
．
现证明如下．
由假设，显然也是非空有界数集，因而它的下确界存在．故对任何，由此推知，从而又有
．
另一方面，对任何
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