蝴蝶定理的证明与推广.docVIP

蝴蝶定理（Butterfly theorem），是古典 HYPERLINK /wiki/%E6%AC%A7%E6%B0%8F%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E5%87%A0%E4%BD%95 \o 欧氏平面几何 欧氏平面几何的最精彩的结果之一。这个命题最早出现在1815年，而“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《 HYPERLINK /wiki/%E7%BE%8E%E5%9B%BD%E6%95%B0%E5%AD%A6%E6%9C%88%E5%88%8A \o 美国数学月刊 美国数学月刊》1944年2月号，题目的图形象一只 HYPERLINK /wiki/%E8%9D%B4%E8%9D%B6 \o 蝴蝶 蝴蝶。这个定理的证法多得不胜枚举，至今仍然被数学热爱者研究，在考试中时有出现各种变形。 最基本的叙述为：设M为圆内 HYPERLINK /wiki/%E5%BC%A6 \o 弦 弦PQ的中点，过M作弦AB和CD。设AD和BC各相交PQ于点X和Y，则M是XY的中点。 该定理实际上是 HYPERLINK /wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%87%A0%E4%BD%95 \o 射影几何 射影几何中一个定理的特殊情况，有多种推广： M，作为圆内弦是不必要的，可以移到圆外。 圆可以改为任意 HYPERLINK /wiki/%E5%9C%86%E9%94%A5%E6%9B%B2%E7%BA%BF \o 圆锥曲线 圆锥曲线。 将圆变为一个 HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%AE%8C%E5%85%A8%E5%9B%9B%E8%A7%92%E5%BD%A2action=editredlink=1 \o 完全四角形（页面不存在） 完全四角形，M为对角线交点。 去掉中点的条件，结论变为一个一般关于有向线段的比例式，称为“ HYPERLINK /w/index.php?title=%E5%9D%8E%E8%BF%AA%E5%AE%9A%E7%90%86action=editredlink=1 \o 坎迪定理（页面不存在） 坎迪定理”，? M不为中点时满足:? eq \f(1,MY) ― \f(1,MX) = \f(1,MQ) ― \f(1,MP) ，这对2，3均成立。 证明 从向和作垂线，设垂足分别为和。类似地，从向和作垂线，设垂足分别为和。 证明蝴蝶定理 现在，由于 从这些等式，可以很容易看出： 由于?=? 现在， 因此，我们得出结论：?，也就是说，是的中点。