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西安电子科技大学2012年 大学生数学建模竞赛 题目： 血管的三维重建 摘要 为了解决这个问题，我们采用平行切线法。利用所给的图片资料，我们首先将图像数字化平提取相关信息，并用matlab编程将图像掏空，即得到图形的外部轮廓曲线。根据由图像提取的数据，将其分为两条易拟合的曲线，对其外部轮廓进行拟合，得到拟合函数，求其切线。在两条拟合的曲线上取它们所有的平行切线，并计算两平行切线间距离。该值就是切片图最大内切圆的直径，由两切点可得到内切圆的圆心（即圆心为两切点坐标中点）。对每张图形进行如上处理，这样，我们就得到了一系列的中轴点，进行拟合，由于一个z只对应于一个x和一个y,故可分别对其投影分别在YZ、ZX平面上进行多项式拟合，求出y=f1(z)和x=f2(z)。则中轴线的空间方程即为上两式的联立便得到了血管管道的中轴线函数。分别将中轴点坐标在Yz、Xz、Xy平面投影拟合得到了在Yz、Xz、Xy平面的投影图，其中最大的内切圆半径的平均值为球的半径r=29.69μm。 关键词：最大内切圆；平行切线；管道重建 一、问题重述 断面可用于了解生物组织、器管的形态。如果用切片机连续不断地将样本切成数十、成百的平行切片， 可依次逐片观察。根据拍照并采样得到的平行切片数字图象，运用计算机可重建组织、器官等准确的三维形态。 假设某些血管可视为一类特殊的管道，该管道的表面是由球心沿着某一曲线（称为中轴线）的球滚动包络而成。例如圆柱就是这样一种管道，其中轴线为直线，由半径固定的球滚动包络形成。 现有某管道的相继100张平行切片图象，记录了管道与切片的交。为简化起见，假设：管道中轴线与每张切片有且只有一个交点；球半径固定；切片间距以及图象象素的尺寸均为1。 取坐标系的Z轴垂直于切片，第1张切片为平面Z=0，第100张切片为平面Z=99。 求： 试计算管道的中轴线与半径。 绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图。 二、问题分析 在所给的题目中，已知某血管与切片的交面平行切片图像。由于该管道可视为半径固定的球的球心沿着某一曲线滚动包络而成的一种特殊管道，因此，计算管道的中轴线和半径，就要对给定相继的100张等间距的平行平面的血管横截面的图像进行分析，建立数学模型。 （1）计算管道的中轴线与半径： 将切片图进行数字化，进一步处理得到其外部轮廓曲线，将其分为两段易拟合的曲线进行拟合。找出他们的所有平行切线，并计算平行切线之间的距离，取最大值。该距离最大值为切面图最大内切圆的直径（即在该处血管的直径）。而取得最大值时，两平行线切点的中点就是中轴线与切面的交点。对每张图作如上的处理，可得到一系列中轴线上的点和切面最大内切圆直径。求出100张切面图最大内切圆直径平均值就能得到血管的近似直径，于是也就得到了血管半径。同理，对得到的中轴线上的点进行合适地拟合，亦可得到中轴线，从而达到求解的目的。 （2）绘制中轴线在XY、YZ、ZX平面的投影图： 对于该问，显然，只要将（1）中的中轴线上的点，运用 matlab分别在XY、YZ、ZX平面内进行拟合，即可得到投影。 三、问题的假设 为使模型合理，需作如下假设： 1．血管壁在做切片时没有损伤； 2．血管壁管壁每处厚度均匀，且该血管正常没病患； 3．对切片拍照的过程中不存在误差，图片分辨率大小对数据造成的误差可忽略不记； 4．切片足够薄，厚度对计算结果影响很小，几乎可忽略不计。 四、符号说明 d:平行切线间的距离； Ri：第 i 个最大内切圆半径； R:血管壁的平均半径； （x，y，z）：内切球球心； （x1，y1，z1）：第一个切点坐标； （x2，y2，z2）：第二个切点坐标； 五、模型的建立 1建模思想 对于解决血管立体图像重建问题，关键是找到轴线与每张切片的交点及半径，也就是图像的最大内切圆圆心及半径。用平行线法求出图像的最大内切圆圆心及半径。 平行线法： 所给图片中的最大内切圆也就是图片内直径最大的圆。假设最大内切圆已知。忽略图形两端光滑连接部分，选取适当数据，可以将边界拟合成两条曲线，则这两条曲线与最大内切圆相切。过曲线与最大内切圆的两个切点做最大内切圆的切线，则这两条切线也分别与两条曲线相切。而这两条平行线间的距离就是最大内切圆的直径。当两条曲线凹向相同，平行线间最大距离为最大内切圆的直径。当两条曲线凹向相反，平行线间最小距离为最大内切圆的直径。 2解题步骤： 读取图形，找出边界点。 对数据进行预处理，找出最大内切圆与边界切点的大致位置，得到数据。 对边界做拟合，得到两条曲线。 找出一条曲线的切线，在另一条曲线上找到与之平行的切线，求出两切线间的距离。 找出切线距离的最大值，就是最大内切圆的直径，也就是球的直径。如下图所示（图（一）为对第一个图的处理，图（二）为对第五十一个图的处理）。此时对应切点