数值分析课程设计数值分课程设计.docVIP

PAGE  PAGE - 8 - 《数值分析课程设计》 报 告 专业： 信息与计算科学 学号： 091101215 学生姓名： 彭旭芳 指导教师： 缪红益 问题提出： 用不同的方法于下面的方程，挑出你满意的算法。 y′=(y2+xy)/x2,y(1)=1,计算x=2. y′=0.5(x2+4y)?-x,y(2)=-1,计算到x=4. 方法： 欧拉方法 三阶龙格库塔公式 二、理论基础 下面主要讨论一阶常微分方程的初值问题，其一般形式为： （1） 我们知道，只要函数f (x,y)适当光滑——譬如关于y 满足利普希茨(Lipschitz)条件 f (x,y)? f (x,) ≤L y? 理论上就可以保证初值问题(1)的解y=y(x)存在并且唯一。 所谓数值解法， 就是求问题( 1 ) 在某些离散点a=xx …x =b的近似值y,y,y…y的方法。y,y,y…y就称为问题(1)的数值解。h = x?x 成为到x到x的步长，我们为了方便取为常量h 。 欧拉方法 将微分方程离散化，用向前差商代替微分y’(x)，代入(1)中的微分方程，可得 =f(x,y(x)) (n=1,2,3…) 化简可得 y (x)= y(x)+ f(x,y(x))h (n=1,2,3…) 如果用y近似y(x)代入上式便可得到y(x)的近似值y，计算式为： y = y + f(x, y)h (2) 这样问题(1)的近似解可通过求解下面的差分初值问题： (n=1,2,3…) (3) 得到，按(3)式由初值y可逐次求出y,y…y。 Eule 方法就是用差分方程初值问题(3)的解来近似微分方程初值问题(1)的解。即由公式 (3)算出y(x) 的近似值。这组公式求问题(1)的数值解就是著名的欧拉(Euler)公式。 改进的欧拉方法 用数值积分方法离散化问题(1)，两端积分可得 y -y =f(x,y(x))dx (n=1,2,3…) 对右端积分使用梯形公式可得, f(x,y(x))dx ≈[f(x, y(x))+f(x,y(x)) 再用y, y代替y(x)，y(x)则得计算公式 y =y+[f(x, y)+f(x,y) (7) 很明显可以注意到(7)式为隐式形式。 改进的欧拉方法是先用欧拉公式求y(x)的一个近似值，称为预测值，然后用梯形公式进行矫正并求得近似值y。即 (8) 改进的欧拉方法的误差估计 由(7)式可知， y(x)- y(x)-[ y’(x))+ y’ (x)] =hy’(x)++y(x) -[ y (x)+ y’(x)+ hy”(x)+]+ =-+ O(h) 所以改进的欧拉方法是二阶的，精度较欧拉方法要高，实用性更加广泛。 龙格-库塔方法的基本原理是：用方程 中函数在前一节点上取值的线性组合构造一个表示的近似值公式，从而避免了求时用的高阶导数。该方法有多种推导方法，这里用数值积分法推导。为此，先将微分方程略加变形得出：，对该式两边在相邻两节点和之间求积分，移项得出： (3-15) 采用不同的方法计算式(3-15)中定积分，便可得出数值积分的不同近似结果。如果用矩形求积公式计算，代入式(3-15)就可得出，这个结果和由Taylor公式得出的Euler公式结果完全一样。 三阶龙格-库塔公式 若用抛物线(Simpson)求积公式计算式(3-15)中的积分，则有： 式中，而和都是未知的，可以用欧拉格式估算和。类似二阶龙格-库塔公式的推导，并令： ，， 把它们代入式(3-15)则得出三阶龙格-库塔公式，它的局部截断误差为。 （3-17） 实验内容 用改进的欧拉方法解y′=(y2+xy)/x2,y(1)=1,计算到x=2.结果如下 x = Columns 1 through 3 1.000000000000000 1.100000000000000 1.200000000000000 Columns 4 through 6 1.300000000000000 1.400000000000000 1.500000000000000 Columns 7 through 9 1.600000000000001 1.70000000000000