第四章留數定理.pptVIP

第四章 留数定理;留数如果函数f(z)在z0的邻域内解析, 那么根据柯西定理;因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数f(z)=...+a-n(z-z0)-n+...+a-1(z-z0)-1 +a0+a1(z-z0)+...+an(z-z0)n+...后,两端沿l逐项积分, 右端各项积分除留下a-1(z-z0)-1的一项等于2pia-1外, 其余各项积分都等于零, 所以;2（有限远点的）留数定理 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点b1,b2,...,bn外处处解析. l是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则;[证] 把在l内的孤立奇点zj(j=1,2,...,n)用互不包含的正向简单闭曲线lj围绕起来, 则根据复合闭路定理有;求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中a-1(z-z0)-1项的系数即可. 但如果知道奇点的类型, 对求留数可能更有利. ;二. 留数的计算方法;;2 如果z0为f(z)的m阶极点, 则;首先判断奇点类型，若是极点判断其阶数;首先判断奇点类型，若是极点判断其阶数;;;;我们也可以下式 来求留数:;例5 计算积分 , C为正向圆周|z|=2.;;例6 计算积分 , C为正向圆周|z|=2. ;;f(z)=...+a-n(z-z0)-n+...+a-1(z-z0)-1 +a0+a1(z-z0)+...+an(z-z0)n+...;无限远点的留数、留数定理及留数求法;三、在无穷远点的留数与留数定理 ;设函数 f(z) 在圆环域R|z|?内解析, l 为圆环域内绕;积分路线的方向是正的。-----------留数定理;推论：如果函数f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点, 那末f(z)在所有各奇点(包括?点)的留数总和必等于零.;四.在无穷远点处留数的计算;现取正向简单闭曲线l为半径足够大;于是有;内除;求积分的又一种方法: ;;例8 求;;;§4.2 留数在定积分计算上的应用;形如;2p;z的有理函数 , 且在 单位圆周上分母不 为零 , 满足留数定 理的条件 .;解 由于0p1, 被积函数的分母在 内不为零, 因而积分是有意义的. 由于 ;在被积函数的三个极点z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内, 其中z=0为二阶极点, z=p为一阶极点.;因此;做题步骤;例2 计算;在圆内 ;例3 计算;极点为 :;若有理函数 R(x)的分母至少比分子高两次, ;取一条连接区间两端的分段光滑曲线, 使与区间;x;根据留数定理得 :;;2、条件与结论： ;;;; ;;三、形如 的积分;在上半平面所有奇点的留数之和;在上半平面的留数之和;同理： 如果G(x)是奇函数，有;2、上两个积分应用留数定理计算时需要满足的条件：;例7 计算积分;注意 以上积分中被积函数中的R(x)在实轴;例8 计算 ;四、实轴上有单极点的情况;的单极点，则在奇点处挖去半径为;可证明：;例9 计算积分;解 ;知;当 充分小时, 总有 ;即;例10. 计算;例11 证明;或;令两端实部与虚部分别相等，得