第四章　隨机变量的数字特征.pptVIP

第四章 随机变量的数字特征 随机变量的数字特征简介 随机变量的概率分布完整地描述了随机变量的统计规律. 但是在实际问题中求得随机变量的概率分布并不容易，而且对于某些问题来说，只需知道它的某些特征。 将刻画随机变量某些方面特征的数值称为随机变量的数字特征。 包括：期望、方差、协方差、相关系数 主要内容 §4.1 随机变量的期望 §4.2 方差 §4.3 协方差与相关系数 一、数学期望的概念 二、数学期望的性质 三、随机变量函数的数学期望 四、小结 第一节 数学期望 一、数学期望的概念 设某射击手在同样的条 件下,瞄准靶子相继射击90次, (命中的环数是一个随机变量). 射中次数记录如下 引例1 射击问题 试问:该射手每次射击平均命中靶多少环? 解 平均射中环数 设射手命中的环数为随机变量 Y . 平均射中环数 “平均射中环数”的稳定值 “平均射中环数”等于 射中环数的可能值与其概率之积的累加 1. 离散型随机变量的数学期望 射击问题 “平均射中环数”应为射手命中的环数随机变量Y 的数学期望 关于定义的几点说明 (1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值（算术平均值）不同 , 它从本质上体现了随机变量 X 取可能值的真正的平均值, 也称均值. (2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不 随级数各项次序的改变而改变 , 之所以这样要 求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变. 随机变量 X 的算术平均值为 假设 它从本质上体现了随机变量X 取可能值的平均值. 当随机变量 X 取各个可能值是等概率分布时 , X 的期望值与算术平均值相等. 试问哪个射手技术较好? 例4-2 谁的技术比较好? 解 故甲射手的技术比较好. 解： 例4-4 已知随机变量X的所有可能取值为1和x，且P{X=1}=0.4，E(X)=0.2，求x。 E(X)=P{X=1}1+P{X=x}x=0.2 0.41+0.6x=0.2 x=-1/3 例 发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票 10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个,奖金各 5 千元;三等奖 10个, 奖金各1千元; 四等奖100个, 奖金各100元; 五等奖1000个, 奖金各10 元.每张彩票的成本费为 0.3 元, 请计算彩票发行单位的创收利润. 解 设每张彩票中奖的数额为随机变量X, 则 每张彩票平均可赚 每张彩票平均能得到奖金 因此彩票发行单位发行 10 万张彩票的创收利润为 练习 如何确定投资决策方向? 某人有10万元现金，想投资于某项目，预估成功的机会为 30%，可得利润8万元 ， 失败的机会为70%，将损失 2 万元．若存入银行，同期间的利率为5% ，问是否作此项投资? 解 设 X 为投资利润，则 存入银行的利息: 故应选择投资. 1. 两点分布 则有 几种离散型随机变量的期望 2. 二项分布 则有 设随机变量 X 服从参数为 n, p 二项分布，即X~B(n,p)，其分布律为 例 4-3 设随机变量 X ~B(5, p)，已知E(X)=1.6， 求参数p。 解： 由于E(X)=np 所以5p=1.6 故p=1.6/5=0.32 3. 泊松分布 则有 例 已知随机变量X~P() ，且P{X=1}=P{X=2}，求E(X)。 解 得 由于 则 所以 例　商店的销售策略 解 2.连续型随机变量数学期望的定义 例4-7 设随机变量 的概率密度为 求 解 例4-8 设随机变量 的概率密度为 求 解 解 因此, 顾客平均等待5分钟就可得到服务. 练习 顾客平均等待多长时间? 1. 均匀分布 则有 几种连续型随机变量的期望 结论 均匀分布的数学期望位于区间的中点. 2. 指数分布 则有 3. 正态分布 则有 1. 离散型随机变量函数的数学期望 二、随机变量函数的数学期望 设随机变量 X 的分布律为 则有 因此离散型随机变量函数的数学期望为 若 Y=g(X), 且 则有 例4-5 设随机变量X的分布律为 令 求 解 例4-6 设随机变量X的分布律为 令 求 解 2. 连续型随机变量函数的数学期望 若 X 是连续型的随机变量，其概率密度为fX (x) , 又随机变量Y=g(X)，则当 收敛时，有 例4-9 设随机变量V服从[0,a]上