第32届俄罗斯数学奥林匹克.pdfVIP

2006 年第 10 期 52 第 32 届俄罗斯数学奥林匹克 第 32 届俄罗斯数学奥林匹克于 2006 年 4 月 21 日 —26 日在俄罗斯普斯科夫举行. 竞赛分 九年级、十年级和十一年级 ,每个年级考两天 ,每天 5 个小时考 4 道题. 我国派出了上海市代表 队参加了这次竞赛. 6 名队员是华东师大二附中的张成、边远 ,复旦大学附中的禹仲俊、龚墨 , 上海中学的应鲍龙、张一凡. 其中 2 人参加了九年级的比赛 ,4 人参加了十年级的比赛 ,并获得 了一金、四银、一铜的好成绩. 以这 2 006 个点中的某些点为端点作弦 ,使 九 年 级 得每条弦的两个端点同色 ,且任意两条弦不 9. 1. 15 × 15 的方格表中有一条非自交闭 相交 (包括端点) . 考里亚要尽可能多地作出 折线 ,该折线由若干条连接相邻小方格 (两个 这样的弦 ,而别佳则尽力阻碍考里亚多作这 有公共边的小方格称为相邻小方格) 的中心 样的弦. 问考里亚至多能作多少条这样的弦 ? 的线段组成 ,且它关于方格表的某条对角线 9. 4. 圆 Γ 与 △ABC 的外 接 圆 相 切 于 对称. 证明 :这条闭折线的长度不大于 200. 点 A ,与边 AB 交于点 K ,且和边 BC 相交. 过 9. 2. 证明 :存在绝对值都大于 1 000 000 点 C 作圆Γ 的切线 ,切点为 L ,联结 KL ,交 的 4 个整数 a 、b、c 、d ,满足 边 BC 于点 T. 证明 :线段 BT 的长等于点 B 1 1 1 1 1 到圆Γ的切线长. + + + = . a b c d abcd 9. 5. 设 a1 , a2 , ?, a10 为正整数 , a1 a2 9. 3. 圆周上有 2 006 个点. 别佳同学先用 ? a10 . 将 ak 的不等于自身的最大约数 17 种颜色给这些点染色 ,然后 ,考里亚同学 2 ( k - 1) ! 取 k = m ! ,其中 , m = q - 1 2 , q 是一个质数 , 若 k - 1 a ,则 a | ( k - 1) ! ,且 可以 n n a