第33届俄罗斯数学奥林匹克.pdfVIP

1 2007 年第 11 期 32 第 33 届俄罗斯数学奥林匹克 第 33 届俄罗斯数学奥林匹克于 2007 年 4 月 23 日 —28 日在俄罗斯阿迪格共和国迈科普 市举行. 竞赛分年级进行 ,每个年级考两天 ,每天 5 个小时考 4 道题. 与以往各届不同的是 ,今 年还举办了八年级的竞赛. 我国派出了由中国人民大学附中和北京师大试验中学的 6 名学生 组成的代表队参加了此次竞赛 ,其中 4 名高二学生参加了十年级的竞赛 ,2 名高一学生参加了 九年级的竞赛. 共获得 4 块金牌和 2 块银牌. 中国人民大学附中的林博同学以满分高居榜首 , 张瑞祥同学则获得十年级组第一名. 琴斯克到迈科普. 三人只有一辆自行车. 开始 八 年 级 时自行车在迈科普 ,每个人都可以步行 (步行 8. 1. 给定实数 a 、b 、c. 证明 :如下三个方 速度为 6 km/ h) ,也都可以骑自行车 (骑车速 程 度为 18 km/ h) ,但不能在没有自己人的地方 x2 + ( a - b) x + ( b - c) = 0 , 停放自行车 (否则 ,可能被盗) ,也不能两人共 x2 + ( b - c) x + ( c - a) = 0 , 骑一辆自行车. 证明 :只需经过 2 h 40 min ,三 x2 + ( c - a) x + ( a - b) = 0 , 个朋友都可以到达自己所要到达的地方. 至少有一个方程有解. 8. 6. 在 △ABC 中 ,一条经过内心 I 的直 8. 2. 将 1～100 这 100 个自然数任意地 线分 别 与 边 AB 、BC 交 于 点 M 、N . 已 知 写在一个 10 × 10 的方格表中 ,每个方格写一 △BMN是锐角三角形. 在边 AC 上取点 K、L , 个数. 每一次操作可以交换任何两个数的位 使得 ∠ILA = ∠IMB , ∠IKC = ∠INB . 证明 : 置. 证明 :只需经过 35 次操作 ,就能使得写在 AM + KL + CN = AC. 任何两个有公共边的方格中的两个数的和都 8. 7. 对于自然数 n ( n 3) ,我们用“n ?” 是合数. 表示所有小于 n 的质数的乘积. 试解方程 8. 3. 在菱形 ABCD 的边 BC 上取一点 M. n ?= 2 n + 16. 由 M 分别作对角线 BD 、AC 的垂线与直线 8. 8. 在 10 × 10 的方格表中写着自然数 AD 交于点 P、Q. 如果直线 PB 、QC 与 AM 交 1～100 :第 1 行从左到右依次写着 1～10 ;第 2 BM 行从左到右依次写着 11～20 ;如此下去. 安 于同一点 ,求比值 . MC 德列试图把方格表全部分割成 1 × 2 的矩形 ,