玻璃杯移动问题数学模型.docVIP

No.2 韶关学院学生数学建模论文集 第二期（2003年8月） 第二期（2003年8月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.2  PAGE 100  PAGE 104 玻璃杯移动问题的数学模型 方创彬，郑碧珍，潘龙飞 1 韶关学院2001级计算机系本（4）班， 广东 韶关512005 2 韶关学院2001级数学与应用数学（1）班，广东 韶关512005 3 韶关学院2002级信息技术教育（3）班，广东 韶关512005 [摘要]：本文通过对各种玻璃杯移动问题进行了分析,找出了如何简单的解决这一类的模型.我们对“每次只能一块儿移动一对相邻的杯子”、“杯子的颜色为黑白两种,要是相邻的杯子是这两种颜色,则移动它们时,要交换位置.”、“某种颜色的杯子有只，另一种杯子有只”以及三种颜色的杯子是如何移动的，一一给出解答，得出了对于只杯子有大于一定数值下的移动次数，并得到定理1、定理2等. 由本文的定理2可以把各类玻璃杯的移动进行解答，轻松的找到移动的方法，解答了多种不同的移动方法的可解性.虽然这一模型所得的不一定是最少的移动次数，但给出了解决这一大类型问题的一般解法. 关键词：玻璃杯；移动方法；交错排列； 1 问题的提出 对于杯子的移动问题，自古以来都有着许许多多的不同移动方法，简单的如将10只玻璃杯，左边5只内有汽水，右边5只空着，你如何以最少的移动次数将这排杯子变成满杯与空杯相互交错.还有困难的多的古典难题：每次只能一块儿移动一对相邻的杯子，使结果成交错排列.它们的普遍解是什么呢？能否将时的解题过程公式化. 由这一难题还可以产生许多奇异的变相问题，如下面的几个问： (1) 仍然是同时移动两只相邻的杯子，但是如果颜色不同则要在移动过程中交换位置，这样一对黑白的杯子就变成了一对白黑排列，请找出它的普遍解. (2)某种颜色的杯子少一只，即某种颜色的杯子有只，又有何不同. (3) 使用三种不同颜色的杯子，按照通常的方法移动一对相邻的杯子，使得所有这三种颜色交相辉映，有何普遍解？ 2 模型的假设 (1) 在移动过程中,不能交换相邻的杯子. 一对杯子一次的移动后,原来的两个位置应该是空的. 一种颜色的杯子数为只,另一种颜色的杯子即为只 3 问题的分析 题目给出了几种移动方案，我们要对这几种(特别是前面的情况)进行分析，求出它们的相同点，加以归纳.如一般的模型我们有定理1，对“每次只能一块儿移动一对相邻的杯子”我们得到了定理2，即当对杯子时（），可以在次内把这一模型移完等等.这些都是通过我们对多种移动方案所总结出来的，对问题的解答有着一定的作用. 4 模型的建立与求解 下面我们来逐步的对问题进行求解，对于简单的“一排有10只玻璃杯，左边5只内有汽水，右边5只空着”问题，我们可以将其扩展为这样的模型：有只杯子，只满杯挨着只空杯，若要使其变成满杯和空杯交错排列，需如何移动. 对于这个简单的问题我们有： 定理1：一般地，如果有只杯子，只满杯，只空杯，需要： 如果为奇数,则将对杯子互换位置,方法是号杯子与号杯子互换位置即可; 如果为偶数,则将对杯子互换位置,方法是号杯子与号杯子互换位置即可. 就可以将它们变成交错排列,(其中) 证明: 对于为奇数. ┅ ┅ 如图可知,当将与号杯子互换,总共对,可使结果成交错排列. 同样的,对于为偶数 ┅ ┅ 可知将与号杯子互换,总共对,可使结果成交错排列. 证毕. 下面我们来看看对于:“每次只能一块儿移动一对相邻的杯子.”这一问题. 以为例,解题过程如下图所示: 1 2 3 4 5 6 只要移动3次即可完成要求. 而对时,没有意义,时,无解. 当时,可得到如下移动. 由以下分析,为了更容易的求出杯子的移动次数,我们有这样的定理: 定理2: 对于对两种颜色的杯子,如果从左右各有只同样颜色的杯子,移动到交错排列有次,则反过来,从交错排列到左右同色的移动也要次. 这一定理是很明显的,我们用上一个例子来说明,见下图即可知是成立的,无需证明. 由定理2,以后在求解各类移动问题时,都可以将其步骤相反过来解答. 现在我们只要在的基础上再加上4次移动就可以得到的移法，即只要将多出的一对杯子先放到一边（先完成的移动），再将靠近中间的同一种颜色的两只杯子（不管是哪一种颜色的杯子）放到同一种颜色的最边上，将多出的一对杯子代换它的位置，就可以得到了的移法，总的要多加3次移动.所以对的模型都可以在的基础上再移动3次来做到. 于是：当对杯子时（），可以在次内把这一模型移完. 通过以上问题的分析和定理,我们开始解决提出的几个变相问题: 假设杯子的颜色为黑白两种,要是相邻的杯子是这两种颜色,则移动它们时,要