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忽然意识到：微积分必须建立在这样一个基础上：点与点没有距离或点与点的间隔相对于研究的尺度来讲要多小有多小，可以无限趋于零。只有做这样的假定，极限才有意义。做了这样的假定后，所有几何图形就能要多精确有多精确。如：圆是要多圆有多圆。可数学是理想的，真正的物理世界是这样吗？ 我认为问题就出在连续上.如果认为世界是连续的，只能趋于零，达不到零，人超越龟也许是因为我们的世界是间断的。既然是这样，我们现在就不能用微积分ds/dt去算不能认为是连续过程的速度,因为局部线形化无意义.微积分在此处便不能用.下面给出我的解释： 之后杆将带着转盘向上运动，在次过程中，Ω减小，这个过程是与上一段相对称的。所以，可以知道，杆将一直回到原来高度（忽略阻力）与此同时，Ω=0，之后再重复此循环，实际上这样的分析得出了章动的道理。 * 海阔天空神自飞 ——力学小论文 物理一班：蔡峥 p我的小论文分成三个部分： 1．谈谈微积分应用于物理中的条件及关于物理世界连续性的思考。 2．谈谈陀螺进动的受力原因。 3．斗胆对统一理论发表见解。 这三个问题均是我在上您的力学课上所想到，又经过我在课下的思考方才写出，但因我才疏学浅，时间有限，如有贻笑大方之处，请您见谅。 一．微积分应用于物理中的条件： 微积分在物理中显示了巨大的威力，可以说，物理学的发展很大程度上依赖于微积分的发现，这点在力学课上已充分感到。可我认为：微积分确有它在物理中的局限性。我认为：微积分的本质是点与点的连续，点与点之间要保证没有距离。这样才能局部线形化。那末，运动学中，只有当可以把研究对象的运动宏观上看成在光滑不间断的空间上才可应用微积分。 两个问题使我认识到这点：一个是您在上课时讲的可以把平面上无穷远点对应球最上方的那个点的问题。（可以过平面上的点向球上作切线，平面上的每个点与球面上每个切点是一一对应的），这说明什么？我认为这说明：用与平面垂直的光从上照射球，球在平面上影子中的点与影子外的亮处的点同样多。因为上半球面的点与下半球面的点是一样多的（这点根据球对称性）。怎么会产生这种现象？一小块面积上的点和很大很大面积的点一样多？我认为这是由于点与点之间是没有距离的，所以小块面积上的点可以大块面积上的点同样多，如果点与点之间存在一个最小的距离 ，即点在以它为中心的邻域内没有其它点，就不可能得出这种结论。 这就引出另一问题： 是一个悖论，我思考了很久，现在给出了一种解释，可能很幼稚，但我认为是有道理的。这个悖论是著名的阿奇理斯与乌龟悖论，里面的关键在于有限时间能否完成无限多个过程。我想：无限过程的每一份再小，它也是无限多，用极限理论固然可以算出阿奇理斯追上乌龟的时间，也有的书中用转换时标，可它们回避了问题的实质，即距离不是趋于零吗？人追上龟代表等于他们之间距离为零，无限趋于零但怎么能严格等于零，问题出在哪儿? 设ε是物理世界中最小数 设存在一个最小时间，为ε秒 存在最小距离，为ε米 ε的加减乘除运算除以下此条：ε*n=ε(-1n1) 外与其它数一致。 ? 那么假设阿奇理斯与乌龟相距3ε，v1=3εv2=ε（v1阿奇理斯速度，v2为乌龟速度）。 经过ε秒，距离缩短3ε*ε-ε*ε=3ε-ε=2ε，再经过ε秒，阿奇理斯超跃乌龟ε米，是像照片一样，一张一张出来。我认为这样的假定是合理的。 可见在解决此悖论的过程中，没有用微积分，因为不能把此过程看作连续。它是间断的。微积分是一门要多精确就多精确的学科,但我们的物理世界也许是不连续的,因为我认为这样假定才能解决悖论.所以,当我们把视野缩到充分小观察物理世界时，微积分也许不在适用。例如：ds/dt是没有意义的。在研究运动时也许只适用于研究那些可以宏观上看成在光滑不间断的空间上进行的运动。 二．关于螺陀进动 “当飞轮高速旋转，松手后飞轮不会不落，它的轴在水平面内以杆顶为中心转动起来” 我曾经对书中的解释有一些疑问，书中进动现象的解释 用的是力矩和角动量的矢量性.但我不理解为什么一松手杆会自己转起来，这里有一个角加速度，是谁给的力？ 我是这样想的:当人托住转杆,让转盘高速旋转,这时人的手离开转杆时,转盘和转杆在t趋于零时可看作没有进动现象.这时,杆与盘都会向下移动一小段距离.转盘的角动量发生了改变.角动量改变必须对应一个力矩,而a点与b点的速度如图箭头所示.而圆盘往下运动可以看作是绕ox轴有一个转动,在a点与b点分别产生了科里奥利力,正是两个科里奥利力对于oy轴的力矩使盘绕oy转动. ? x y a b ω va vb 可以这样说:从图中