2015-2016学年高中数学第1章1.4第1课时曲边梯形面积与定积分课件新人教B版选修2-2摘要.ppt

导数及其应用;1.4　定积分与微积分基本定理 第1课时　曲边梯形面积与定积分;课堂典例探究 ;;大自然是懂数学的．你看，在我们生活的大自然中，各种植物的叶子千差万别，但它们具有相同的特点：叶子的边缘都是曲线形状，好似两条曲线相交而成．同样，花卉的花瓣也是曲线形状的． 那么，怎样计算这种由曲线围成的图形的面积呢？;1.从1到n的自然数的平方和等于多少？ 2．函数f(x)在x＝x0处导数的定义是什么？;一、定积分的实际背景 1．曲边梯形的概念 如图(1)，阴影部分类似于一个梯形，但有一边是曲线y＝f(x)的一段．我们把由直线x＝a，x＝b(ab)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的图形称为曲边梯形．;注意：曲边梯形的面积并不是一个孤立的概念，曲边梯形与“直边图形”有密切的联系，曲边梯形与“直边图形”的主要区别是前者至少有一边为曲线段，后者所有边都是直线段．可用“以直代曲”的思想求曲边梯形的面积．;在求由x＝a，x＝b(ab)，y＝0及y＝f(x)(f(x)≥0)围成的曲边梯形的面积S时，在区间[a，b]上等间隔地插入n－1个分点，分别过这些分点作x轴的垂线，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，下列结论中正确的个数是(　　) ①n个小曲边梯形的面积和等于S； ②n个小曲边梯形的面积和小于S； ③n个小曲边梯形的面积和大于S； ④n个小曲边梯形的面积和与S之间的大小关系不确定;A．1　　　　　　 B．2 C．3 D．4 [答案]　A [解析]　只有①正确．故选A.;二、定积分的概念 1．定积分的概念 设函数y＝f(x)定义在区间[a，b]上(如图)，用分点a＝x0x1x2…xn－1xn＝b把区间[a，b]分为n个小区间，其长度依次为Δxi＝xi＋1－xi，i＝0,1,2，…，n－1.;(2)定积分表示面积的代数和． 以上考虑的问题中被积函数的值是非负的，定积分的值也为非负的，如果被积函数是负的，函数曲线在x轴之下，定积分的值就是曲边梯形的面积的相反数．当被积函数在积分区间上有正、有负时，定积分就是x轴之上的面积与x轴之下的面积相反数的代数和． (3)特别注意：定积分可以是面积，体积，功，路程，压力，还有更多的实际意义．;利用定积分的几何意义求定积分的步骤 (1)???确画出图形． (2)通过解方程组求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)确定被积函数及积分变量，确定时可以考虑下列因素． ①被积函数的原函数易求； ②较少的分割区域； ③积分的上、下限比较简单．;; 利用定积分的定义，求由直线x＝1，x＝2，y＝0及y＝x3围成的曲边梯形的面积． [分析]　将区间[1,2]平均分为n份，将曲边梯形分成n部分，用矩形面积近似代替每个小曲边梯形的面积，然后求各曲边梯形面积的和，最后取极限、得结论．;[解析]　如图所示．;将本例改为“求由x＝0，x＝2，y＝0及y＝x3围成的曲边梯形的面积”．;求变力所做的功;利用积分的几何意义求定积分;